Большая Советская Энциклопедия (ОП) | страница 44

). При такой замене оператор дифференцирования р =  интерпретируется как алгебраическая величина, вследствие чего интегрирование некоторых классов линейных дифференциальных уравнений и решение ряда др. задач математического анализа сводится к решению более простых алгебраических задач. Так, решение линейного дифференциального уравнения сводится к более простой, вообще говоря, задаче решения алгебраического уравнения; из алгебраического уравнения находят изображение решения данного уравнения, после чего по изображению восстанавливают само решение. Операции нахождения изображения по оригиналу (и наоборот) облегчаются наличием обширных таблиц «оригинал — изображение».

  Для развития О. и. большое значение имели работы английского учёного О. Хевисайда. Он предложил формальные правила обращения с оператором р =

 и некоторыми функциями от этого оператора. Пользуясь О. и., Хевисайд решил ряд важнейших задач электродинамики. Однако О. и. не получило в трудах Хевисайда математического обоснования, многие его результаты оставались недоказанными. Строгое обоснование О. и. было дано с помощью интегрального преобразования Лапласа. Если при этом преобразовании функция f (t ), 0 £ t < + ¥, переходит в функцию F (z ), z = x+iy :

f (t ) ® F (z ),

  то производная

f (t ) ® zF (z ) – f (0) (*)

  и интеграл

.

  Следовательно, оператор дифференцирования р переходит в оператор умножения на переменную z , а интегрирование сводится к делению на z . В след. краткой таблице даны (при t  ³ 0 ) примеры соответствия

оригинал ®	изображение
f (t )	F (z )
1	1/z
t >n	n !/z >n>+1 (n > 0 – целое)
е >l>t	1/(z – l)
cos wt	z /(z >2 + w>2 )
sin wt	w/(z >2 + w>2 )

  Пример. Найти методом О. и. решение у = f (t ) линейного дифференциального уравнения

у” – у' – 6у = 2e ^>4t

^>  при начальных условиях

y_>0 = f (0) = 0 и y_>0 '=f ’(0) = 0.

  Переходя от искомой функции f (t ) и данной функции 2e^>4t к их изображениям F (z ) и 2/(z – 4) (см. табл.) и применяя формулу (*) для изображения производных, получим

z^>2F (z ) – zF (z ) – 6F (z ) =

,

  или

F (z ) =

.

  Откуда (опять по таблице)

y = f (t ) =

  Другой путь обоснования О. и. предложен польским математиком Я. Микусиньским (1953), опиравшимся на понятие функционального кольца. Для обоснования методов О. и. можно воспользоваться теорией обобщённых функций. Имеются различные обобщения О. и. Существует многомерное О. и., основанное на теории кратных интегралов. Созданы О. и. дифференциальных операторов, отличных от оператора