-мерного евклидова пространства. См. также
Спектральный анализ
(математический).
Одним из простейших классов ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве являются вполне непрерывные операторы. Оператор А
называется вполне непрерывным, если он переводит всякое ограниченное множество из Н
в компактное (см. Компактность
).
Спектр вполне непрерывного оператора состоит из конечного или бесконечного счётного числа собственных значений и не имеет отличных от нуля предельных точек. Каждому l ¹ 0 отвечает лишь конечное число линейно независимых собственных функций. Непрерывный спектр отсутствует.
Самосопряжённый вполне непрерывный оператор А
имеет хотя бы одно собственное значение, причём в Н
можно выбрать полную ортогональную систему элементов, состоящую из собственных функций оператора А
.
Неограниченные операторы
. Понятие ограниченного линейного оператора оказывается во многих случаях слишком узким. Поэтому возникла необходимость рассматривать т. н. неограниченные операторы. Соответствующее, более общее, определение гласит: оператор А
называется линейным неограниченным оператором в гильбертовом пространстве Н
, если: 1) соответствие у = А
(х
)
определено для всех х
, принадлежащих некоторому линейному многообразию
W, называемому областью определения оператора A
; 2) А
(aх
+ by
) = aА
(х
) +
bA
(y
).
Важнейшим классом неограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве являются дифференциальные операторы. Многие задачи математической физики, в частности теории колебаний, приводят к задаче о разыскании собственных функций и собственных значений различных дифференциальных операторов. Например, цилиндрические функции
,Лежандра многочлены
и т.д. представляют собой не что иное, как собственные функции определённых дифференциальных операторов.
Нелинейные операторы
. При изучении операторов предположение об их линейности играет весьма существенную роль. Однако в ряде случаев приходится рассматривать и нелинейные операторы. В частности, важное значение в механике и физике имеют нелинейные интегральные уравнения.
Лит.:
Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 3 изд., М., 1972; Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962.
Опера'торский тра'нспорт
в кинематографии и телевидении, предназначен для перемещения оператора и съёмочной аппаратуры в процессе киносъёмок либо телевизионных передач. О. т. применяется при съёмках в движении и для облегчения переходов от одной точки съёмки к другой. К средствам О. т. относятся операторские тележки (
