Большая Советская Энциклопедия (ВЫ) | страница 7

). Согласно теории вероятностей, выборка будет правильно отражать свойства всей совокупности, если выбор производится случайно, т. е. так, что любая из возможных выборок заданного объёма n из совокупности объёма N [число таких выборок равно N !/n !(N — n )!] имеет одинаковую вероятность быть фактически выбранной.

  На практике наиболее часто используется выбор без возвращения (бесповторная выборка), когда каждый отобранный объект перед выбором следующего объекта в исследуемую совокупность не возвращается (такой выбор применяется при статистическом контроле качества). Выбор с возвращением (выборка с повторением) рассматривается обычно лишь в теоретических исследованиях (примером выбора с возвращением является регистрация числа частиц, коснувшихся в течение данного времени стенок сосуда, внутри которого совершается броуновское движение ). Если n << N, то повторный и бесповторный выборы дают практически эквивалентные результаты.

  Свойства совокупности, исследуемые В. м., могут быть качественными и количественными. В первом случае задача выборочного обследования заключается в определении количества М объектов совокупности, обладающих каким-либо признаком (например, при статистическом контроле часто интересуются количеством М дефектных изделий в партии объёма N ). Оценкой для М служит отношение mN/n , где m — число объектов с данным признаком в выборке объёма n . В случае количественного признака имеют дело с определением среднего значения совокупности

Оценкой для  является выборочное среднее где x_>1 ,..., x_>n — те значения из исследуемой совокупности x_>1 , x_>2 ,..., x_>N , которые принадлежат выборке. С математической точки зрения 1-й случай — частная разновидность 2-го, которая имеет место, когда М величин x_>i равны 1, а остальные (N — М ) равны 0; в этой ситуации  и .

  В математической теории В. м. оценка средних значений занимает центральное место потому, что к ней в известной степени сводится изучение изменчивости признака внутри совокупности, так как за характеристику изменчивости обычно принимают дисперсию

 

представляющую собой среднее значение квадратов отклонений x_>i от их среднего значения

. В случае изучения качественного признака s^>2 = М (N — M )/N^>2 .

  О точности оценок m/n и

 судят по их дисперсиям

 

которые в терминах дисперсии конечной совокупности s^>2 выражаются в виде отношений s^>2 /n (в случае выборок с повторением) и s^>2 (N — n )/n (N — 1) (в случае бесповторных выборок). Так как во многих практически интересных задачах случайные величины m/