Конечно, в прикладных разделах математики (да и в большинстве теоретических) бесконечность в мистически-пафосном смысле этого слова уже давно и тщательно заметена под ковер. Лучшие умы математики к середине-концу XIX века в основном придали математическому анализу его современную форму, где в рассуждениях и вычислениях фигурируют только конечные величины вместо понятных лишь гениям вроде Ньютона "моментов флюксий". Тем не менее бесконечность как концепция никуда не девается, она таится где-то в глубине, как кащеева игла, и вокруг нее витают темные флюиды логических туманностей и парадоксов, иногда очень эффектных – чего стоит хотя бы знаменитый парадокс Банаха-Тарского (см. стр. 26). Эти туманности, некогда привлекавшие широкое внимание, по-прежнему исследуют энтузиасты – но надо признать, что мода на разработку предмета с гордым названием "основания математики" прошла. Сегодня мало кто верит, что именно на этом пути, истоптанном титанами прошлого, найдется что-нибудь такое, что поможет радикально улучшить математику не в части логического обоснования, а в части прикладных результатов, – другими словами, поможет разработать новый математический язык, позволяющий выразить нечто совершенно новое об, извините за высокий слог, устройстве мира. Впрочем, за эксперименты с бесконечностью охотно берутся увлеченные непрофессионалы; часто – увлеченные катастрофически и безвозвратно. Увы, их писания обычно непригодны для таких журналов, как наш, столь же болезненно увлеченных идеей искать везде и всюду зерна рациональности или хотя бы вменяемости.
Работу математика Ярослава Сергеева, о которой мы сегодня рассказываем, нельзя отнести ни к одному из этих направлений мысли. От первого из них она отличается наглядностью и практической (по замыслу, по крайней мере) ориентированностью, от второго – полным соответствием научным стандартам. Сергеев воплотил в жизнь мечту, часто посещающую школьников и математиков-первокурсников, – придумал арифметику, объединяющую конечные и бесконечные числа. Более того, он разработал (и запатентовал!) конструкцию компьютера, выполняющего операции этой арифметики.
Рецензенты работ Сергеева предрекают, что на основе его результатов будет создано "множество новых мощных инструментов в анализе, информатике, теории множеств, теории измерений". Вполне возможно, что так и произойдет, но нельзя забывать, что такие прогнозы – дело очень неблагодарное. Энтузиазм по поводу перспектив нестандартного анализа – аппарата, созданного в 1960-е годы для введения в матанализ бесконечно малых и бесконечно больших чисел (см. врезку "Реинкарнация грифонов"), – был велик. Сегодня нестандартный анализ жив, но великих надежд с ним уже не связывают.
