В конце концов я выкладываю сумму денег в магазине за какой-либо товар, предполагая получить не только товар, но и сдачу. Моей сумме денег соответствует два значения– «товар» и «сдача». Но таким образом это действие не является функцией. Однако если спросить человека в здравом уме является ли это действие чем-то «единым», «одним», является ли для него естественным заплатить сумму денег за товар и получить товар и сдачу или он считает, что он совершает два разных действия, то, я полагаю, человек в здравом уме согласится, что это одно действие. Это действие я называю инструкцией и противопоставляю функции.
Допустим, я играю на рулетке. Предполагая выиграть, я делаю ставку. «Делать ставку» это инструкция, которая очевидно может иметь два значения – выигрыш и проигрыш. Любой здесь заявит: «да в данном случае мы не имеем дело с функцией».
45.
Однако все эти соответствия могут быть формализованы, для них могут быть заданы алгоритмы.
Допустим
(z, y) = 2x
при z=2x, если x-четное,
y=2x, если x-нечетное.
Скажут, вы в данном случае задали две функции, для четных и нечетных чисел. Я этого не делал. Я просто записал одну инструкцию. Надеюсь, эта инструкция совершенно интуитивно ясна человеку в здравом уме, однако термина для нее в математике не существовало.
46.
Фундаментальной идеей, с которой вы должны ознакомиться, является не идея функции, как функционального соотвествия, а машина Тюринга-Поста. Этот термин действительно имеет фундаментальное значение для математики, программирования, а, как я убежден, и общенаучный смысл. Я изложу его содержание.
Исходным материалом для нас будет служить такое соответствие как лента, разделенная на равные участки, называемые ячейками. Лента будет считаться конечной длины в каждый момент времени, неограниченно продолжаемой в обе стороны и направленной, так что у каждой ячейки есть соседняя справа и соседняя слева. Каждая ячейка ленты может находиться в различных состояниях и эти состояния сравнимы, так что можно однозначно решить, находятся ли две произвольные ячейки ленты в одинаковых состояниях или в разных. Одно из возможных состояний ячеек называется исходным. Ячейки, находящиеся в этом состоянии называются пустыми. Остальные состояния обозначаются буквами, занимающими соответствующие ячейки. Произвольная конечная совокупность букв называется алфавитом. Если говорят, что имеют алфавит состоящий из букв А, В то это значит, что рассматривается лента, ячейки которой могут находиться в состояниях, условно обозначаемых символами А, В. Последовательность ячеек, занятых некоторыми буквами, называется
