Моделирование рассуждений. Опыт анализа мыслительных актов | страница 44

или логическими.

Перейдем к описанию правил вывода R. Вспомним, что Аристотель, создавая свои силлогистические правила, добивался того, чтобы из истинных посылок всегда следовали истинные заключения. Если в качестве аксиом используются абсолютные аксиомы, то правила вывода должны обладать тем свойством, что их применение не должно нарушать истинность. Другими словами, из тождественно истинных формул должны выводиться лишь тождественно истинные формулы. Введем, учитывая это, два правила вывода исчисления высказываний.

Первое правило носит название правило подстановки. Согласно ему в формулу, которая уже выведена, можно вместо некоторого высказывания подставить любое другое при непременном условии, что эта подстановка сделана во всех местах вхождения заменяемого высказывания в данную формулу. Такая подстановка сохраняет свойство формулы быть тождественно истинной. Если в аксиому (?(??)) вместо ? подставить любую формулу, например (?&?), то формула ((?&?)((?&?)

?)) останется тождественно истинной, что легко доказывается перебором всех комбинаций истинностных значений ? и ? и проверкой того, что для всех них полученная формула остается истинной.

Второе правило называется модус поненс (лат. modus ponens) или правило заключения и выглядит следующим образом: если ? и (??) являются истинными формулами, то формула ? также истинна. Если ? является истинной, то истинность (?

?) означает, что ? является истинной. Поэтому правило заключения не портит истинности выводимых формул.

Мы полностью описали исчисление высказываний. Заметим еще раз, что оно устроено так, что в результате выводов из аксиом получаются лишь тождественно истинные формулы. Можно показать, что система логических аксиом может быть выбрана таким образом, что для любой тождественно истинной формулы всегда найдется цепочка выводов (логических рассуждений), с помощью которой она будет выведена из системы аксиом путем применения правил подстановки и заключения. Другими словами, может быть построена полная система аксиом, из которой будут выводиться все тождественно истинные формулы и только они. Как показали исследования логиков, таких полных систем аксиом существует много. Система из четырех аксиом, которую мы только что рассмотрели является полной. Ее предложил известный немецкий математик и логик Д. Гильберт.

Подобное свойство исчисления высказываний позволяет достаточно легко ответить на кардинальный вопрос, возникающий для любой формальной системы: принадлежит ли некоторая правильная формула к множеству формул, выводимых в данной формальной системе? Для ответа на этот вопрос надо построить таблицу, в которой в левой части перечислены все возможные комбинации значений истины и лжи для высказываний, входящих в эту формулу (легко видеть, что при