Родился 4 ноября 1922 года в городе Черемхово, Иркутской области. Окончил семь классов школы, заниматься в аэроклубе, тренировки проходили на аэропланке села Оёк.
В 1940 году был призван на службу в Красную Армию. Направлен в Новосибирскую военную школу пилотов, но вскоре был переведён в Пермскую военную авиационную школу пилотов, которую окончил в 1941 году. После окончания школы оставлен в ней инструктором.
С марта 1943 года – на фронтах Великой Отечественной войны. Весь свой боевой путь младший лейтенант А.П. Елдышев прошел в 995-м штурмовом авиационном полку 306-й штурмовой авиационной дивизии 17- й воздушной армии на Юго – Западном ( с октября 1943 года – на 3-м Украинском ) фронте. Начал воевать командиром звена, летом 1943 года он был назначен заместителем командира эскадрильи с присвоением звания- лейтенант, весной 1944 года- старший лейтенант, летом 1944 года- капитан, в этом же году стал командовать эскадрильей.
Участвовал в наступательных операциях: Изюмско- Барвенковской (июль 1943 г.), Донбасской (август-сентябрь 1943г.), Нижнеднепровской (октябрь-декабрь 1943г.), Никопольско- Криворожской (январь-февраль 1944г.), Березнеговато-Снигирёвской (март 1944г.), Одесской (март-апрель 1944г.), Ясско – Кишинёвской (август 1944г.), Бухарестко – Арадской (сентябрь 1944г.), Белградской (сентябрь-октябрь 1944г.), Апатин – Капошварской (ноябрь-декабрь 1944г.), Будапештской (декабрь-февраль 1944-1945г.), Балатонской оборонительной операции (март 1945г.),Венской (март-апрель 1945г.) и Грацско – Амштеттенской (апрель-май 1945г.) наступательных операциях.
Уже в июле 1943 года отличился при подготовке советских войск к наступательным действиям, уничтожил под мощным зенитным огнём переправу через реку Северский Донец, а также 4 танка, 5 автомашин, 1 зенитную огневую точку.
В воздушном бою у деревни Беловская 6 июля лично сбил 1 немецкий истребитель. Получив в одном из вылетов сильные повреждения от зенитного огня врага, благополучно привёл и посадил повреждённый самолет на своём аэродроме.
Особо отличился в бою 1 декабря 1943 года, когда возглавленное им звено из трёх штурмовиков было срочно перенацеленно в воздухе на отражение сильной атаки танков и пехоты противника. Елдышев грамотно вывел штурмовики в атаку. На минимальной высоте штурмовики пробомбили танковые порядки врага, а на 2 заходе пушечно-пулемётным огнём рассеяли пехоту. Атака была сорвана, сожжены 1 танк и 2 штурмовых орудия. Все самолеты вернулись на аэродром.
