Жемчужина Эйлера | страница 8

Рис. I.2. Топологические поверхности: сфера, тор и лента Мёбиуса

Рис. I.3. Два разбиения сферы

Мяч, которым играли на Всемирном чемпионате по футболу в 2006 году, состоял из шести четырехсторонних кусков в форме песочных часов и восьми бесформенных шестиугольных кусков (рис. I.3). Он также удовлетворяет формуле Эйлера (V = 24, E = 36, F = 14).

Возникает искушение сделать вывод, что формула Эйлера справедлива для любой топологической поверхности. Однако если разбить тор на прямоугольные грани, как на рис. I.4, то получится неожиданный результат. Разбиение образовано проведением двух окружностей вокруг центрального отверстия тора и четырех окружностей на самой кольцевой трубке. Оно состоит из 8 четырехсторонних граней, 16 ребер и 8 вершин. При этом

V – E + F = 8 – 16 + 8 = 0,

а не 2, как предсказывает формула Эйлера.

Рис. I.4. Разбиение тора

И если бы мы построили другое разбиение тора, то обнаружили бы, что эта знакопеременная сумма по-прежнему равна нулю. Поэтому для тора мы получаем новую формулу Эйлера:

V – E + F = 0.

Можно доказать, что у любой топологической поверхности есть «своя» формула Эйлера. Не важно, на сколько граней разбить поверхность сферы — на 6 или на 1600, все равно формула Эйлера всегда будет давать 2. И точно так же, если применить формулу Эйлера к любому разбиению тора, получится 0. Это число может служить характеристикой поверхности, подобно тому, как количество колес характеризует транспортные средства. У любой легковой машины четыре колеса, у тягача с прицепом восемнадцать, а у мотоцикла два колеса. Если у транспортного средства не четыре колеса, то это не легковая машина, а если у него не два колеса, то это не мотоцикл. Аналогично, если V – E + F не равно 0, то поверхность топологически не эквивалентна тору.

Величина V – E + F внутренне связана с формой поверхности. Топологи говорят, что она является инвариантом поверхности. Из-за этого свойства инвариантности величина V – E + F называется эйлеровой характеристикой поверхности. Эйлерова характеристика сферы равна 2, а тора — 0.

В данный момент тот факт, что у каждой поверхности своя эйлерова характеристика, может показаться не более чем математическим курьезом, над которым забавно поразмышлять, держа в руках футбольный мяч или глядя на геодезический купол — мол, «круто же». Но, конечно же, это далеко не так. Как мы увидим, эйлерова характеристика — незаменимый инструмент при изучении многогранников, не говоря уже о топологии, геометрии, теории графов и динамических системах, и у нее есть весьма элегантные и неожиданные применения.