В школе и в вузе мы изучали математику по учебникам. В учебниках математика излагается строгим, логически последовательным образом: определение, теорема, доказательство, пример. Но открывали математику не так. Много лет уходило на то, чтобы понять предмет настолько хорошо, чтобы связно изложить его в учебнике. Математика развивается то медленно и постепенно, то гигантскими скачками, бывают шаги в ложном направлении, за которыми следуют исправления и установление связей. В этой книге мы увидим увлекательный процесс математического открытия в действии — как блестящие умы размышляют, задают вопросы, уточняют, развивают и изменяют работы своих предшественников.
Я не стал просто излагать историю топологии, а взял формулу Эйлера для многогранников в качестве путеводителя. Открытая в 1750-м, формула Эйлера знаменует начало перехода от геометрии к топологии. Мы проследим, как эта формула из любопытного курьеза превратилась в глубокую и полезную теорему.
Формула Эйлера — идеальный путеводитель, потому что заводит в изумительные помещения, куда редко заглядывают посетители. Идя по ее следам, мы познакомимся с самыми интригующими областями математики — геометрией, комбинаторикой, теорией графов, теорией узлов, дифференциальной геометрией, динамическими системами и топологией. С этими красивейшими предметами типичный студент, даже специализирующийся в математике, может никогда не встретиться.
Кроме того, по пути я буду иметь удовольствие представить читателю некоторых величайших математиков всех времен: Пифагора, Евклида, Кеплера, Декарта, Эйлера, Коши, Гаусса, Римана, Пуанкаре и многих других — все они внесли важный вклад в эту область и в математику в целом.
Никаких формальных предварительных знаний для чтения этой книги не требуется. Математики, изучаемой в средней школе, — алгебры, тригонометрии, геометрии — достаточно, но большая ее часть к обсуждаемой теме не имеет отношения. Книга вполне самостоятельна, а в тех редких случаях, когда это необходимо, я буду напоминать читателю факты из этих математических дисциплин.
Но не впадайте в заблуждение — некоторые излагаемые идеи весьма сложны и абстрактны, представить их наглядно нелегко. Читатель должен быть готов воспринимать логические рассуждения и мыслить абстрактно. Чтение математического текста — совсем не то же самое, что романа. Иногда нужно остановиться и обдумать каждое предложение, еще раз прочитать рассуждение, попытаться придумать другие примеры, внимательно рассмотреть рисунки в тексте, представить картину в целом и заглянуть в предметный указатель, чтобы вспомнить точный смысл термина.
