Параллельный перенос вектора. Критика | страница 2
"… результирующий вектор a>*>i, вообще говоря, будет отличен от исходного вектора a>i, причем разность a>*>i – a>*>i зависит от выбора замкнутой кривой … это единственное существенное различие между плоским и искривленным пространствами" [7, с.231].
Именно такое поведение вектора при параллельном переносе, как правило, и используется в качестве определения понятия кривизны пространства:
"… пространство называется искривленным, если результат параллельного переноса вектора из одной точки в другую зависит от выбора пути, по которому производится перенос" [1, с.84].
При параллельном переносе всегда принимается, что длина вектора остается неизменной, поэтому результатом переноса может быть только поворот вектора, но не его растяжение или сжатие. Поскольку пути могут быть разными, то и результирующий поворот так же может быть разным. В частности, главной характеристикой связности на многообразии есть изменение при переносе касательного вектора:
"В дифференциальной форме его можно описать заданием оператора поворота вектора Г при переходе из точки x в точку x+dx, а именно:
Коэффициенты Г>μ>αν в формуле (3.4) называются компонентами связанности. Разбивая теперь кривую, соединяющую две точки пространства, на малые отрезки и описывая на каждом отрезке изменение вектора с помощью оператора (3.4), можно получить изменение вектора при переносе из одной точки в другую. При этом существенно, что результат будет различен для различных кривых, связывающих эти точки …
Таким образом, параллельный перенос в искривленном пространстве зависит от пути, по которому он осуществляется" [6, с.30].
Очевидно, что разных путей параллельного переноса вектора из одной точки в другую может быть сколько угодно. В плоском пространстве существует единственное направление, параллельное заданному в какой-то точке, поэтому результат переноса определяется только исходным вектором и не зависит от пути переноса. Напротив, в искривленном пространстве:
"… результат параллельного переноса вектора зависит не только от исходного вектора, но и от пути, по которому совершается перенос.
Рис.35. Параллельный перенос вектора по двум возможным путям
Если вектор v>0 (рис. 35) сначала параллельно переносится из точки A в точку B, а затем в точку D, то в результате мы получим вектор v>1, если параллельный перенос вектора v>0 совершается от точки A к точке D через точку C, то результатом переноса будет вектор v>2. Параллельный перенос вектора вдоль пути, состоящего из отрезков прямых (ломаная линия), в конце концов возвращающихся в исходную точку (замкнутая ломаная), приводит к новому вектору в начальной точке; этот новый вектор отнюдь не совпадает с исходным, хотя при переносе вектора по всем сегментам петли мы нигде не нарушили правил параллельного переноса" [1, с.62].
