Возвратившись в Кан, я думал над этим результатом, извлекая из него следствия; пример квадратичных форм показал мне, что существуют автоморфные группы, отличные от тех, которые соответствуют гипергеометрическому ряду; я увидел, что могу к ним применить теорию тета-автоморфных функций и что, следовательно, существуют автоморфные функции, отличающиеся от тех, которые соответствуют гипергеометрическому ряду — единственные, которые я знал до тех пор.
Естественно, я захотел построить все эти функции; я предпринял систематическую осаду и успешно брал одно за другим передовые укрепления. Оставалось, однако, ещё одно, которое держалось и взятие которого означало бы падение всей крепости. Однако, сперва ценой всех моих усилий я добился лишь того, что лучше понял, в чём состоит трудность проблемы, и это уже кое-что значило. Вся эта работа была совершенно сознательной.
Затем я переехал в Мон-Валерьян, где я должен был продолжать военную службу. Таким образом, занятия у меня были весьма разнообразны. Однажды, во время прогулки по бульвару, мне вдруг пришло в голову решение этого трудного вопроса, который меня останавливал. Я не стал пытаться вникать в него немедленно и лишь после окончания службы вновь взялся за проблему. У меня были все элементы и мне оставалось лишь собрать их и привести в порядок. Поэтому я сразу и без всякого труда полностью написал эту работу.
Я ограничусь лишь этим одним примером. Бесполезно их умножать, так как относительно других моих исследований я мог бы рассказать вещи совершенно аналогичные и наблюдения, приводимые другими математиками в ответах на вопросы журнала «Математическое образование», только подтверждают мои. [Примечание редактора: Исследования по теории автоморфных функций, о которых здесь говорит Пуанкаре, он вёл в творческом соревновании с крупным немецким математиком Феликсом Клейном. Позже, чем Пуанкаре, в 1915 или 1916 гг., читая курс лекций по истории математики XIX века, Клейн тоже рассказал о ходе своих работ, и этот рассказ имеет немало, общего с описанием Пуанкаре. Приведём здесь соответствующий отрывок, вошедший в книгу Клейна «Развитие математики в XIX веке» (см. там 3-ю часть: «Теория функций с 1850 по 1900 годы». Читателя и здесь не должны смущать специальные термины).]
>«Осень 1881 г. я провёл для лечения у Северного моря… Следуя тогдашним рекомендациям врачей, я решил в пасхальные каникулы 1882 г. снова отправиться к Северному морю, в Нордерней. Я хотел там, в спокойной обстановке, написать вторую часть своей работы, связанной с идеями Римана… Но я выдержал только 8 дней, так как существовать было трудно: мощные штормы не давали выходить из дому, и у меня началась сильная астма. Я решил поскорее уехать на родину, в Дюссельдорф. В последнюю ночь, с 22 на 23 марта, которую я из-за астмы проводил сидя на диване, внезапно в полтретьего передо мною возникла основная теорема такой, какой я её уже собственно раньше представлял себе с помощью чертежа 14-угольника в XIV томе журнала «Mathematische Annalen». На следующее утро в почтовой карете, в которой тогда надо было ехать из Нордена в Эмден, я ещё раз во всех деталях продумал то, что нашёл. Теперь я знал, что имею большую теорему. Приехав в Дюссельдорф, я всё сразу записал
