Эти особенности помогут нам понять, что происходит, с точки зрения психологии, при переходе от первой стадии ко второй; другими словами, понять то, что происходит при изучении математики.
Известно, до какой степени обычным делом здесь являются полное непонимание и полный крах. Впрочем, я буду очень краток в этом вопросе, так как он основательно рассмотрен Пуанкаре. Прежде чем его обсуждать, небесполезно заметить, что изучение математики уже входит в тему нашего исследования. Между работой ученика, решающего задачу по алгебре или геометрии, и изобретательской работой разница лишь в уровне, в качестве, так как обе работы аналогичного характера.
Как получается, что столько учеников неспособны к этому виду работы, неспособны понимать математику? Пуанкаре рассмотрел именно этот вопрос 105, и он ярко показал, какова здесь действительная причина, источник которой — тот смысл, который следовало бы придавать слову «понимать».
«Понять доказательство теоремы, — значит ли это исследовать последовательно каждый из силлогизмов, из которых она состоит, и констатировать, что он корректен и соответствует правилам игры? Да, для некоторых; установив это, они скажут: «Я понял». Но не для большинства. Почти все остальные являются гораздо более требовательными; они хотят знать не только все ли силлогизмы в доказательстве верны, но также почему они связываются в таком порядке, а не в другом. Так как они считают это порождением каприза, а не ума, постоянно и сознательно стремящегося к цели, они считают, что не поняли.
Несомненно, они не вполне отдают себе отчёт в том, чего требуют, и они не сумели бы сформулировать своё желание, но если они не удовлетворены, то они смутно чувствуют что им чего-то не хватает.»
Легко понять связь между сказанным и нашими предыдущими рассмотрениями. Чтобы преподавать устно или письменно, надо дать каждую часть доказательства в совершенно осознанном виде, в соответствии с одновременными стадиями проверки и «завершения», которые мы описали выше. При этом, думая о будущих следствиях, обычно стараются увеличить число результатов-эстафет. При таком подходе (который кажется наилучшим для получения ясного и строгого представления у начинающего) не остаётся ничего от синтеза, важность которого мы подчеркнули в предыдущей главе. Этот синтез является для нас поводырём, без которого мы были бы как слепые, умеющие ходить, но никогда не знающие направления, в котором надо идти.
