Психология процесса изобретения в математике | страница 46

Чтобы рассмотреть несколько менее тривиальный случай, возьмём элементарное и хорошо известное доказательство теоремы: «Последовательность простых чисел не ограничена». Я повторю последовательные этапы классического доказательства этой теоремы, записывая рядом с каждым из них соответствующий образ, возникающий в моём мозгу. Например, нам нужно доказать, что существует простое число, большее 11:

Какая может быть польза от такого странного и неопределённого представления? Оно, конечно, не используется здесь для того, чтобы напомнить мне какое-нибудь свойство делимости, так как всякая информация, данная таким образом, могла бы оказаться неточной и сбить меня с пути. Этот механизм удовлетворяет, таким образом, условию б), поставленному выше. Наоборот, это условие лишь частично выполняется при гипотезе Бинэ: уточнять бессознательные идеи всегда связано с риском их исказить.

Но в то же время можно легко понять, почему мне мог быть необходим механизм такого типа для понимания доказательства, приведённого выше. Он мне необходим для того, чтобы единым взглядом охватить все элементы рассуждения, чтобы их объединить в одно целое — наконец, чтобы достичь того синтеза, о котором мы говорили в начале этой главы, и чтобы придать проблеме своё лицо. Этот механизм не раскрывает мне ни одного звена в цепи рассуждения (т. е. не содержит никаких свойств делимости или простых чисел), но он мне напоминает о том, как эти звенья должны быть соединены. Если мы ещё раз обратимся к сравнению Пуанкаре, то скажем, что это представление необходимо для того, чтобы не потерять уже полученные полезные комбинации.

Фактически всякое математическое исследование принуждает меня строить аналогичную схему, которая всегда носит и должна носить неопределённый характер, чтобы не сбить с пути. Я приведу менее элементарный пример, взятый из моих ранних исследований (моя диссертация): я должен был рассмотреть сумму бесконечного числа слагаемых и оценить порядок её величины. Итак, когда я обдумываю этот вопрос, я вижу не собственно формулу, а место, которое она бы занимала, если бы её написали: нечто вроде ленты, более широкой или более тёмной в местах, соответствующих членам, которые могут оказаться существенными, или же я вижу нечто вроде формулы, прочесть которую, однако, невозможно, как будто бы я смотрю без очков (у меня сильная дальнозоркость), причём в этой формуле буквы немного более отчётливы в местах, которые предполагаются более важными (хотя их также