h/mа = S/mg, или aS = gh.
Мы доказали, что произведение aS, а значит, и конечная скорость тела, скатившегося с наклонной плоскости, не зависит от угла наклона, а зависит лишь от высоты, с которой началось движение вниз. Скорость v = √(2gh) для всех наклонных плоскостей при единственном условии, что движение началось с одной и той же высоты h. Эта скорость оказалась равной скорости свободного падения с высоты h.
Измерим скорость тела в двух местах наклонной плоскости — на высотах h>1 и h>2. Скорость тела в момент прохождения через первую точку обозначим v>1, а скорость в момент прохождения через вторую точку — v>2.
Если начальная высота, с которой началось движение, есть h, то квадрат скорости тела в первой точке будет v>1>2 = 2g∙(h — h>1), а во второй точке v>2>2 = 2g∙(h — h>2).
Вычитая первое из второго, мы найдем, как связаны скорости тела в начале и в конце какого угодно кусочка наклонной плоскости с высотами этих точек:
v>2>2 — v>1>2 = 2g∙(h>1 — h>2),
Разность квадратов скоростей зависит лишь от разности высот. Заметим, что полученное уравнение одинаково пригодно для движений вверх и для движений вниз. Если первая высота меньше второй (подъем), то вторая скорость меньше первой.
Эту формулу можно переписать следующим образом:
(v>1>2/2) + gh>1 = (v>2>2/2) + gh>2
Мы хотим подчеркнуть такой записью, что сумма половины квадрата скорости и высоты, умноженной на g, одинакова для любой точки наклонной плоскости.
Можно сказать, что величина (v>2/2) + gh сохраняется во время движения.
Самое замечательное в найденном нами законе то, что он справедлив для движения без трения по любой горке и вообще по любому пути, состоящему из чередующихся подъемов и спусков различной крутизны. Это следует из того, что любой путь можно разбить на прямолинейные участки. Чем меньше брать отрезки, тем ближе будет приближаться ломаная линия к кривой. Каждый прямой отрезок, на которые разбит криволинейный путь, можно считать частью наклонной плоскости и применить к нему найденное правило.
Значит, в любой точке траектории сумма (v>2/2) + gh одинакова. Поэтому изменение квадрата скорости не зависит от формы и длины пути, по которому двигалось тело, а определяется лишь разностью высот точек начала и конца движения.
Читателю может показаться, что наше заключение не совпадает с повседневным опытом: на длинном отлогом пути тело вовсе не набирает скорость и в конце концов остановится. Так оно и есть, но ведь мы в наших рассуждениях не учитывали силу трения. Написанная выше формула верна для движения в поле тяжести Земли под действием одной лишь силы тяжести. Если силы трения малы, то выведенный закон будет выполняться совсем неплохо. На гладких ледяных горах санки с металлическими полозьями скользят с очень небольшим трением. Можно устроить длинные ледяные дорожки, начинающиеся с крутого спуска, на котором набирается большая скорость, а затем причудливо извивающиеся вверх и вниз. Конец путешествия по таким горкам (когда санки остановятся сами собой) при полном отсутствии трения произошел бы на высоте, равной начальной. А так как трения избежать нельзя, то точка, с которой началось движение санок, будет выше того места, где они остановятся.
