Рассказы о математике | страница 12

Так что с простыми числами не все так просто. Есть и удивительные факты. Например, в 1883 г. русский математик И.М.Первушин из Пермского уезда доказал простоту числа 2^>61 — 1 = 2305843009213693951. Даже сейчас компьютеру с запущенной вышеприведенной программой требуется несколько минут на проверку данного числа, а на то время это была поистине гигантская работа.

Кстати интересно, что существуют люди, обладающие уникальными способностями мозга — так например, известны аутисты, способные находить в уме (!) 8-значные простые числа. Как они это делают, непонятно. Такой пример описывается в книге известного врача-психолога Оливера Сакса “Человек, который принял жену за шляпу”. По некоторым предположениям, такие люди обладают способностью “видеть” числовые ряды визуально, и пользуются методом “решета Эратосфена” для определения, является ли число простым или нет.

Еще одна интересная гипотеза была выдвинута Ферма, который предположил, что все числа вида

являются простыми. Эти числа называются “числами Ферма”. Однако, это оказалось верным только для 5 первых чисел: F_>0=3, F_>1=5, F_>2=17,F_>3=257, F_>4=65537. В 1732 году Эйлер опроверг гипотезу, найдя разложение на множители для F_>5: F_>5= 641·6700417. Существуют ли другие простые числа Ферма, пока неизвестно до сих пор. Такие числа растут очень быстро (для примера, F_>7=340282366920938463463374607431768211457), и их проверка является непростой задачей даже для современных компьютеров.

Актуальны ли простые числа сегодня? Еще как! Простые числа являются основой современной криптографии, так что большинство людей пользуются ими каждый день, даже не задумываясь об этом. Любой процесс аутентификации, например, регистрация телефона в сети, банковские платежи и прочее, требуют криптографических алгоритмов. Суть идеи тут крайне проста и лежит в основе алгоритма RSA, предложенного еще в 1975 году. Отправитель и получатель совместно выбирают так называемый «закрытый ключ», который хранится в надежном месте. Этот ключ представляет собой, как, наверное, читатели уже догадались, простое число. Вторая часть — «открытый ключ», тоже простое число, формируется отправителем и передается в виде произведения вместе с сообщением открытым текстом, его можно опубликовать даже в газете. Суть алгоритма в том, что не зная «закрытой части», получить исходный текст невозможно.

К примеру, если взять два простых числа 444388979 и 444388909, то «закрытым ключом» будет 444388979, а открыто будут передано произведение 197481533549433911 (444388979*444388909). Лишь зная вторую половинку, можно вычислить недостающее число и расшифровать им текст.