Однако только около 1904 года, когда стали проявляться парадоксы, Гильберт убедился, что основные усилия необходимо направить на аксиоматический анализ как часть более обширной задачи — установления непротиворечивости арифметики (поскольку и геометрия, и анализ были сведены к ней). Как обычно, Гильберт выбрал себе соратника — на этот раз Цермело — и поручил ему детальную разработку аксиоматизации теории множеств. Именно так начали вырисовываться два основных момента программы Гильберта: сперва аксиоматизация, затем непротиворечивость.
На первом этапе было необходимо формализовать теорию множеств, а также логику и арифметику. Наивные определения не позволяли вывести строгие рассуждения, лишенные парадоксов. Следовало полностью формализовать известную математику, переведя все ее содержимое в формальную систему, выраженную с помощью нового символического языка: 0 (число нуль), s (функция последующего члена), ¬ (не), v (или), ^ (и), →(вывод), Ǝ (квантор существования), перевернутое А(квантор всеобщности), = (равенство), х (переменная) и так далее. Как раз в 1928 году, спустя 50 лет после первого шага Фреге, Гильберт и Аккерман опубликовали «Основы теоретической логики» — учебник по дисциплине, сегодня называемой логикой первого порядка. Их формализация достигла канонического уровня, и сегодня она известна как система Гильберта — Аккермана. Они установили формальный синтаксис, а также предложили аксиомы и правила этой логики, что позволяет выводить новые формулы. Логика первого порядка превратилась в настоящее исчисление.
Вначале был знак.
Давид Гильберт, «Новые основания математики» (1922)
В учебнике Гильберта и Аккермана были сформулированы некоторые металогические вопросы о свойствах исчисления, ими разработанного. Они перекликались, в частности, с доказательством (в 1926 году предложенным Бернайсом) того, что элементарная логика, или логика пропозиций, является верной (любая доказуемая формула верна) и полной (любая логическая истина, в свою очередь, доказуема), и к этому же результату в 1922 году независимо пришел Эмиль Пост (1897- 1954). Авторы задавались вопросом — является ли таковой логика первого порядка? — хотя признавали, что ответ не найден. Ровно через год, в 1929 году, молодой австрийский логик Курт Гёдель доказал полноту логики первого порядка в своей докторской диссертации, написанной под руководством Ханса Хана (1879-1934), хотя опубликовал ее он лишь в 1930 году Эта логика была верной (все доказуемые формулы истинны) и полной (все логические истины, все тавтологии доказуемы). При исчислении предикатов первого порядка синтаксическое понятие дедукции и семантическое понятие истины совпадают, имеют одно и то же расширение.
