Французский математик Анри Пуанкаре был первым, кто указал на то, что источник парадоксов, атакующих логику, заключается в цикличности, в виде автореференции или принадлежности самому себе. Парадоксы держались на использовании непредикативных определений — тех, в которых определяемое входит в состав определения. Позже Рассел назвал это принципом порочного круга. Неудивительно, что нарушение этого принципа ведет к парадоксам, антиномиям и противоречиям, многие из которых признаются даже вне формальных языков, в естественных языках. В качестве примера служит хорошо известный парадокс лжеца, приписываемый Эпимениду Критскому (в своих письмах о нем упоминает даже святой Павел). В одном из стихотворений Эпименид порицает критян, называя их лжецами. Но поскольку он сам критянин, его утверждение, относящееся к самому себе, преобразуется в «я лгу». В этом случае то, что он говорит, не может быть правдой, значит, критяне не лгут. Но если они не лгут, то и Эпименид тоже, поэтому получается, что критяне лгут, и так далее.
Математическая логика, как ее стали называть вслед за Пеано, создавала одни только неприятности. И Пуанкаре, который считал ее бесполезной, смеялся: «Она уже не стерильна, она порождает противоречия». Несмотря ни на что логистическая программа, составленная Фреге, получила развитие благодаря бесцеремонности Бертрана Рассела и Альфреда Норта Уайтхеда (1861-1947).
В 1900 году на международном конгрессе по философии, проходившем в Париже, Рассел столкнулся с символической реформой Пеано. В 1889 году Пеано представил свои «Принципы арифметики», содержащие знаменитые пять аксиом (включая принцип индукции) для натуральных чисел, используя новую символику, которую разработал сам. В сообществе логиков и математиков одномерная символика Пеано была принята лучше, чем двумерная символика Фреге (за исключением его учеников, которые взбунтовались и не успокоились, даже когда Пеано предложил поставить всем зачет). В 1902 году, верный логицизму Фреге и символизму Пеано, Рассел опубликовал «Принципы математики». Но медовый месяц логики был коротким, потому что незадолго до публикации он открыл парадокс, который сегодня носит его имя. До 1910 года Рассел работал с Уайтхедом, и оба стремились справиться с противоречиями, которые вскрыл парадокс. В книге Principia mathematica (1911-1913) они глубже, чем кто-либо на сегодняшний день, погрузились в основания математики. Эта блестящая работа стала, говоря словами Гильберта, «коронацией аксиоматизации».
