ЛОГИКА КАК УНИВЕРСАЛЬНЫЙ КЛЮЧ К МАТЕМАТИКЕ
Поскольку арифметика напоминала дерево, которое безустанно растет вверх, в то время как его корни уходят вглубь, возникло первое течение, связанное с основаниями, — логицизм. Познакомимся с ним и с его первым идеологом, Готлобом Фреге (1848-1925). Этот немецкий математик отстаивал идею, что вся математика базируется на натуральных числах. Но как их построить? Ключ был, по его мнению, в области логики.
Всю жизнь Фреге был угрюмым преподавателем в Йенском университете. Учеников у него было так мало, что регулярно его занятия посещали только двое: один философ и один военнослужащий в отставке, который учился для души. Он был неспособен говорить на другие темы, кроме логики и математики, и всегда тактично сводил любой разговор к ним. Результатом этой одержимости была «Концептография», опубликованная с подзаголовком «Подражающий арифметике формальный язык чистого мышления» в 1879 году. Фреге наполнил новым вином старые бурдюки логики, создав «математическую логику».
Традиционная логика пребывала не в лучшем состоянии, несмотря на то что, по-видимому, исчерпала себя еще при Аристотеле. Но логика начала лукавить с математикой. Раймунд Луллий (1232-1315) в Ars Magna и Хуан Карамуэль (1606— 1682) в Mathesis Audax задумали вид логической алгебры, в которой все рациональные истины понимались в рамках вида вычислений универсальной записи, названной Лейбницем как calculus ratiocinator. Философы больше не испытывали необходимости в полемике, иначе они решали бы их, как будто их можно вычислить. Они усаживались бы за свои столы, брали в руки перья и говорили друг другу: посчитаем! Эти семена проросли в алгебру логики, которую Джордж Буль (1815-1864) вывел в своих «Законах мышления» в 1854 году.
Но Фреге больше интересовался логикой алгебры, чем алгеброй логики, и в своей «Концептографии» формализовал логику пропозиций и предикатов (логику первого порядка), то есть рассуждений о некоторых объектах и свойствах, удовлетворяющих этим объектам, но не о свойствах, которые проверяют такие свойства (это епархия логики второго порядка). Позже в «Основах арифметики» (1884) он заложил базу программы логицизма, которую последовательно изложил в томах «Основных законов арифметики, выведенных концептографически» (1893-1903). Фреге утверждал, что логика предшествует математике и, следовательно, математические понятия должны быть сведены к логическим. Математика — лишь дополнение к логике.
