Гильберт воспользовался возможностью распространить свою веру в примат аксиоматического метода как механизма определения математических понятий. Когда для Пуанкаре интуитивная догадка и физические аналогии играли основную роль, для Гильберта таковой была чистая логика: строгость и простота. Последнюю треть XIX века он выводил новый математический метод, радикально отличающийся от привычного. Понятие об абстрактной структуре, включая множество, стало новой отправной точкой, новым способом дать определения — скрыто, через аксиомы. Также возникли новые методы доказательства, косвенные или экзистенциальные, и новые способы выражения, потребовавшие использования формальных языков. Это была революция, которая охватывала математику и была многим обязана немецкому ученому.
В своей лекции Гильберт вновь вернулся к понятию математического существования: если можно доказать, что свойства, заданные понятию, никогда не приводят к противоречию, то это понятие существует математически. Утверждение было категоричным и шокировало многих его коллег. Он утверждал, что при исследовании оснований науки должна быть сформулирована система аксиом, которая содержала бы точное описание основных отношений между элементарными понятиями этой науки. Таким образом, сформулированные аксиомы стали бы одновременно определениями этих элементарных понятий, и ни одна рассматриваемая научная пропозиция не была бы истинной, если бы не выводилась из аксиом за конечное число логических шагов.
Кроме того, философски подводя к своему списку проблем, Гильберт спорил (как и Пуанкаре) с популярными в то время скептиками, вдохновленными физиологом Эмилем Дюбуа-Реймоном (1818-1896) и подхватившим его знамя физиком Пьером Дюгемом (1861-1916). По их мнению, наука подошла к своему пределу, и оставался некий блок вопросов, суть которых, согласно высказыванию Дюбуа-Реймона в 1872 году, «мы не знаем, мы не будем знать» («Ignoramus, ignorabimus!»). Гильберт же с оптимизмом заявлял, что любая математическая проблема решаема — в том смысле, что можно получить положительный или отрицательный ответ. В этом состояло одно из его самых прочных убеждений и мощный стимул для ежедневной работы:
«...ибо мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот проблема, ищи решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления, ибо в математике не существует ignorabimus».
К сожалению, оказалось, что это не так. Как известно, эта идея в 30-е годы получила сильный удар.
