Что такое вещественные числа? Главное свойство вещественных чисел, которое их определяет и характеризует, заключается в том, что они заполняют всю числовую ось, то есть каждая точка на этой оси соответствует вещественному числу, а каждое вещественное число — точке на оси. Однако в конце XIX века это определение не было удовлетворительным, поскольку оно не должно было опираться на геометрические понятия. Но как можно донести мысль, что они заполняют всю числовую ось, не говоря ни о прямой, ни о точке? Этот вопрос был назван «проблемой континуума» (в то время континуумом называли числовую ось), и во второй половине XIX века он стал центральным вопросом исчисления.
В начале 1870-х годов в Галле Кантор, бывший учеником Вейерштрасса и, следовательно, тоже увлеченный проблемой логического обоснования исчисления, занялся поиском четкого определения вещественных чисел. Свои выводы он изложил в статье Ober die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen («Обобщение одной теоремы из теории тригонометрических рядов»), опубликованной в 1872 году в журнале Mathematische Annalen. До него Дедекинд тоже занимался тем же самым вопросом, что привело ученых к спору о первенстве.
Определение Кантора основано на понятии фундаментальной последовательности. Она состоит из вещественных чисел, и в ней по мере продвижения разница между любыми двумя членами, следующими друг за другом или нет, становится все меньше.
Возьмем, например, последовательность, образованную числами 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159; 3,141592; 3,1415926; 3,14159265; 3,141592653; 3,1415926535,... (в каждом последующем числе добавляется еще один знак числа π после запятой). С пятого числа все они начинаются с 3,14159... Это значит, что с пятого элемента разница между двумя членами последовательности (не важно, идут они один за другим или нет) начинается с пяти нулей после запятой, то есть она меньше 0,00001 (где только четыре нуля после запятой). Аналогично, начиная с шестого числа, разница между двумя членами последовательности меньше 0,000001; начиная с седьмого — меньше 0,0000001 и так далее.
Таким образом, 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159; 3,141592; 3,1415926; 3,14159265; 3,141592653; 3,1415926535... - фундаментальная последовательность.
По мнению Кантора, особенность, определяющая вещественные числа, заключается в том, что каждой фундаментальной последовательности соответствует вещественное число, и наоборот, каждому вещественному числу соответствует фундаментальная последовательность. Другими словами, каждое вещественное число определяется фундаментальной последовательностью. В приведенном выше примере последовательность определяет, разумеется, число π.
