Если немного изменить этот ход рассуждений, можно доказать, что множество чисел, содержащихся в любом, даже самом маленьком отрезке числовой оси, не эквивалентно множеству натуральных чисел. Множество вещественных чисел (или чисел одного отрезка оси) нельзя представить в виде последовательности, как в 1874 году заявил Кантор. Надо заметить, что доказательство, приведенное Кантором, было не совсем таким. Диагональный метод был описан лишь в 1892 году в статье Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre («Об одном элементарном вопросе учения о многообразиях»).
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
В статье 1874 года Кантор не говорил ни о целых, ни о рациональных числах. Он доказал, что вещественные числа не могут быть представлены как последовательность, и рассмотрел еще одно множество — множество алгебраических чисел.
Обратимся к древней и очень известной задаче о квадратуре круга, впервые сформулированной древнегреческими геометрами в V веке до н.э. Она состоит в том, чтобы при помощи линейки без делений и циркуля построить квадрат с той же площадью, как у заданной окружности.
Линейка в те времена была обычным прямоугольником для рисования отрезков, на ней не было никаких делений. Ограничительные условия этой задачи свойственны всей древнегреческой геометрии, и происходили они от элитарного представления о науке: измерениями занимались «низшие классы» — купцы и ремесленники, — а геометры и философы работали с идеальными фигурами и понятиями, не опускаясь до «второстепенного» и используя инструменты, годные для создания «чистых» фигур (прямых и окружностей) без их измерения.
В течение веков было сделано множество попыток получить квадратуру круга, но ни одна из них не увенчалась успехом. Никто не был в состоянии найти решение этой задачи; с другой стороны, не было доказано, что решение невозможно.
Если r — это радиус окружности, то ее площадь рассчитывается как πr>2. Пусть вас не удивляет, что число π связано с этой задачей. Действительно, мы можем доказать, что задача вычислить квадратуру круга эквивалентна другой: взяв за единицу измерения любой отрезок, построить при помощи линейки без делений другой отрезок, длина которого равнялась бы π раз этой единице. Другими словами, построить отрезок длины π.
То, что эти задачи эквивалентны, означает: если допустимо построить отрезок длины π, то можно построить и квадратуру круга, и наоборот. Если же одно из этих построений неосуществимо, то неосуществимо и другое. Первый важный шаг в решении этой задачи был сделан в XVIII веке, когда доказали, что для того чтобы построить отрезок с помощью линейки и циркуля, его длина должна соответствовать алгебраическому числу. Точное определение алгебраического числа слишком сложное, достаточно сказать, что таким называется число, являющееся решением уравнения определенного типа (такого, в котором задействованы целые числа). К тому же не все алгебраические числа могут быть найдены с помощью циркуля и линейки, а только отвечающие определенным требованиям.
