dL/dƒ = d/dx ∂L/dƒ' = 0
Таким образом, мы получили уравнения Эйлера — Лагранжа, которые в приложениях обычно приводят к дифференциальным уравнениям второго порядка.
5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Эйлер вывел свою фундаментальную формулу, из которой впоследствии получил еще несколько из простых рядов Тейлора. Напомним, что степени ведут себя так:
i0 = 1,i1 = i,i2 = -1,i3 = -i,
i>4 - 1, i>5 = i, i>6 = 1,i7 = i и так далее.
Напомним также, что ряды степеней е и тригонометрических функций синус и косинус раскладываются в ряд Тейлора или степенной ряд следующим образом:
ex = x>0/0! + x>1/1! + x>2/2! + x>3/3! + x>4/4! + ...
cosx = x>0/0! + x>2/1! + x>4/4! + x>6/6! + ...
sinx = x>1/1! + x>3/3! + x5/5! + x>7/7! + ...
Произведем вычисления:
e>ix = (iz)>0/0! + (iz)>1/1! + (iz)>3/3! + (iz)>4/4! + (iz)>5/5! + (iz)>6/6! + (iz)>7/7! + (iz)>8/8! + ... = z>0/0! + i(z>1/1!) + z>2/2! + i(z>3/3!) + z>4/4! + i(z>5/5!) + z>6/6! + i(z>7/7!) + z>8/8! + ... = (z>0/0! + z>2/2! + z>4/4! + z>6/6! + z>8/8! + ...) + i(z>1/1! + z>3/3! + z>4/4! + z>6/6! + z>8/8! + ...).
6. КРИПТОГРАФИЯ И МАЛАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА
Пусть М — сообщение, а С — зашифрованное сообщение (или криптограмма). Предположим, что оба они — натуральные числа. Обозначим через ƒ функцию, которая преобразует М в С: ƒ(M) = С. Чтобы зашифровать М, выбирают два очень больших простых числа, р и q, и определяют модуль, который мы назовем n, так что n = pq и n > М. Выберем такое е, что 1 < е < φ(n), а е и φ(n) взаимно простые числа. Открытый ключ состоит из n и е, и он всем известен. Поскольку n — очень большое число, узнать значение р и q невозможно. Мы имеем E = ƒ(M) ≡ M>e (mod n). Назовем закрытым ключом пару n, d, где d выбрано так, что de ≡ 1 (mod φ(n)). Поскольку ρ и q — простые числа, a pq = n, получим, что φ(n) = (р - 1)(q - 1); если мы не знаем p и q, а узнать их фактически невозможно, то мы не можем узнать и φ(n). Следовательно, мы не можем узнать d. Но у получателя есть значение d, следовательно, он знает р и q и может перейти к расшифровке сообщения: E>d ≡ (M>e)>d (mod n) ≡ М>ed (mod n) ≡ M>Nφ(n)+1 (mod n), N € Ν. Теперь применим малую теорему Ферма. Если а = M>N (a и n почти стопроцентно взаимно простые), то, применяя теорему, мы получаем: E>d ≡ Ма>φ(n) (mod n) ≡ M (mod n) = M, поскольку М < n, как мы договорились в начале.
Из этого объяснения видно, что создать ключ расшифровки довольно легко, поскольку нужны всего два больших простых числа, р и q, а разложить его, напротив, очень трудно.
