Больцман. Термодинамика и энтропия | страница 32

Так Больцман (и до этого Максвелл) пришел к выводу, что функция распределения может зависеть только от скорости. Однако чтобы выразить скорость частицы, обычно нужно три числа, по одному для каждого направления, что усложняет вычисления. Больцману понадобилась другая упрощающая гипотеза: предположить, что скорости не зависят от направления; то есть что скорость 20 м/с равновероятно направлена влево так же, как и вверх. Отсюда следовало, что функция распределения может зависеть только от величины скорости, а не от ее направления, что обосновывалось второй гипотезой.

Было и третье предположение, которое в научной литературе обычно обозначают как Stofizahlansatz, или "молекулярный хаос", понятие, оказавшееся ключевым в последующей полемике с Лошмидтом о парадоксе обратимости. Здесь скрывается предрассудок об оси времени, который привел к тому, что Больцман получил в результате второе начало.

В модели Больцмана атомы или молекулы двигались по газу, сталкиваясь друг с другом; для простоты он рассматривал столкновения только между двумя атомами и игнорировал (как менее частые) столкновения между тремя или более. Предположение Больцмана состояло в том, что до столкновения скорости атомов не были связаны между собой; то есть они были абсолютно случайными. Иначе дело обстояло после столкновения, поскольку направление, в котором двигалась одна из молекул, зависело от той молекулы, с которой она столкнулась. Это предположение вызывало временною асимметрию в математическом анализе, поскольку при нем можно было разделить прошлое (где не было связи) и будущее, что в свою очередь являлось причиной временно-асимметричного результата, каковым и является второе начало. Тот факт, что в чем-то настолько тривиальном скрывается секрет термодинамической необратимости, иллюстрирует утонченность и сложность идей, на которых держится теоретическая физика.

Скорости случайны до столкновения, но связаны между собой после него. Для большей ясности математика упрощена, как будто речь идет о столкновении водном измерении.

После пояснения всех гипотез можно прокомментировать первый значительный результат статьи, что позднее стало известно как "уравнение Больцмана". В нем было описание эволюции функции распределения на основе различных факторов, которые могли повлиять на нее. Он доказал, что изменение в функции распределения обязано только действию внешних сил, столкновениям между молекулами и диффузией; под последней Больцман понимал статистическую тенденцию находящихся в определенной области частиц распространяться до заполнения всего разрешенного объема.