Затем, в 1931 году другой знаменитый математик, Курт Гедель (Kurt Goedel), рассмотрев некоторые из предложенных Гильбертом аксиом, доказал, что, исходя из них, можно прийти к совершенно различным выводам и доказать два противоположных по смыслу положения. Таким образом, он заключил, что данные аксиомы содержат иррациональный фактор, который не может быть исключен. В современной математике также не следует утверждать очевидность некоторых положений: Аксиомы должны выдвигаться в качестве предположений, после чего может выводиться логическое заключение. Однако будет неверным считать, что гипотеза не может быть оспорена или поставлена под сомнение.
При выдвижении гипотез математики в настоящее время обычно утверждают: «это очевидно» или «разумно предположить», и из этого исходят в построениях своих математических моделей. В дальнейшем все построения отсутствуют, но как раз утверждение разумно предположить» является сомнительной ключевой фразой. Гедель продемонстрировал это и тем самым опрокинул все построение. Как ни странно, с тех пор дискуссии по проблемам научных основ не возобновлялись, по утверждению Вейля, никто не касался этой проблемы; ученые смущенно почесывали затылки и говорили: «Давайте не будем обсуждать фундамент науки, разумно предположить, что мы дальше не продвинемся». Таковой ситуация остается и сегодня.
Герман Вейль проделал очень интересную эволюцию. Сначала он увлекся теориями физика Вернера Гейзенберга (Werner Heisenberg), который был в определенной степени пифагорейцем, интересовался нуминозностью и иррациональностью натуральных чисел. Позднее был период в его жизни, когда он восхищался Гильбертовой логикой. Он оставил изучение проблемы чисел, рассматривая их (по моему мнению, ошибочно) просто как величины. Он утверждал, например, что натуральные числа подобны ряду меток, сделанных палкой, которые позднее были названы обычными; что они были придуманы человеческим разумом и ничего таинственного в них нет, «разумно и очевидно», что человек мог сделать это открытие. Однако в конце своей жизни он внес следующее дополнение в немецкое издание своей книги по философии математики:
«Прекрасная надежда (которая у нас была) об освобождении человечества от обсуждения фундамента науки была разрушена в 1931 году Куртом Геделем; первооснова и реальное значение математики — открытый вопрос. Возможно, человек создает математику подобно тому, как он создает музыку. Это один из творческих видов деятельности человека. Идея существования трансцендентного мира является основным принципом формализма; формализм в математике характеризуется на каждом этапе ее развития неполнотой [это означает, что любая математическая теория не содержит в себе внутренних противоречий, но отличается неполнотой] в той степени, что вопросы, даже простого арифметического свойства, которые могут быть сформулированы в рамках формализма, не могут быть решены в рамках самого формализма».
