· o +
>n(n-1)/2 · x
>n-2 · o
>2 + ...
Если вычесть из данного выражения значение у = х>n получится, что приращение к переменной х, то есть о, равносильно приращению к переменной y, то есть:
n · x>n-1 · o + n(n-1)/2 · x>n-2 · o>2 + ...
Если мы проведем преобразование, то получим выражение:
n · x>n-1 + n(n-1)/2 · x>n-2 · o + ...
Теперь, как говорил сам Ньютон, "пусть эти приращения испарятся": все члены с приращением исчезают, если это значение стремится к нулю. Таким образом, найденная производная равная n · х>n-1.
АНАЛИЗ ЛЕЙБНИЦА
После 1675 года в заметках Лейбница уже появляются идеи, которые привели его, по ходу дела серьезно меняясь, к собственному пониманию анализа. Однако похоже, что идеи, которые направили ученого по этому пути, зародились еще раньше. В своем труде "Об искусстве комбинаторики" Лейбниц работал с последовательностями и разностями между их членами. Он исходил, например, из последовательности квадратов 0, 1, 4,9,16, 25,...
Первые разности были 1, 3, 5, 7, 9, ... вторые — 2, 2, 2, 2, 2, ... а третьи все были нулевые. Если взять третью степень, то все четвертые разности были нулевыми, и так далее.
Он убедился, что при сложении первых членов последовательности первых разностей получается следующий член исходной последовательности, то есть при сложении двух первых членов (1 +3 = 4) получается третий член последовательности. Если сложить три первых члена 1 + 3 + 5 = 9, то получается четвертый член, и так далее.
Таким образом, анализ бесконечно малых Лейбница основывается на суммах и разностях членов последовательностей. Сумма дает нам интегральное исчисление, то есть площадь, ограниченную кривой, а разности — производную.
Лейбниц считал, что кривые сформированы из бесконечного числа прямолинейных бесконечно малых отрезков, которые составляют касательные к кривой. То есть для каждой точки у нас есть значение х, значение у и значение отрезка, соответствующего кривой; значит, у нас есть последовательности чисел, к которым можно применить сложение и вычитание.
В первой главе статьи об анализе, опубликованной Лейбницем в 1684 году в журнале "Акты ученых" под названием "Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления", ученый представил свой метод и применил его для решения задачи, поднятой картезианцем Флоримоном де Боном: нахождения кривых с постоянной подкасательной. Рассмотрим его в современной записи.
