Лейбниц. Анализ бесконечно малых | страница 52

+ (y - b)^>2 = r^>2 (рисунок 1). Остальные кривые Декарт назвал механическими. Это спирали, показательные и логарифмические функции или цепная линия, то есть кривая, форму которой принимает веревка, закрепленная с двух сторон, например кабели между двумя опорами линии электропередач. Без сомнения, главной механической кривой того времени была циклоида: кривая, описываемая точкой окружности, которая катится по полу, не проскальзывая (рисунок 2). Представим себе колесо велосипеда с приклеенной к шине жевательной резинкой: кривая, которую будет описывать резинка, когда мы приведем велосипед в движение, — это циклоида.

РИС. 1 Геометрическая кривая.

РИС. 2 Циклоида

Свое название циклоида получила благодаря Галилею. Робервалю удалось найти квадратуру сегмента циклоиды, и хотя он пытался выявить способ построения касательной, это получилось сделать только у Ферма. Паскаль поставил перед научным миром задачу нахождения площади любого сегмента циклоиды и центра его тяжести. Из всех откликнувшихся он наиболее высоко оценил работу Кристофера Рена. В свою очередь Гюйгенс сформулировал задачу построения кривой, имеющей минимум, или нижнюю точку, причем если уронить шарик, который катится без учета силы трения по этой кривой вследствие тяготения, он потратит одно и то же время, чтобы достичь нижней точки, независимо оттого, из какой точки кривой он начнет движение. Эту кривую Гюйгенс назвал таутохронной. Паскаль доказал, что решением данной задачи является обратная циклоида. Лейбниц переименовал кривые, назвав их вместо геометрических алгебраическими и поменяв название механических на трансцендентные. Эта терминология все еще используется сегодня.

Так, Роберваль считал, что на движущуюся точку влияют две силы, горизонтальная и вертикальная. Диагональ прямоугольника, образованного обеими прямыми, дает направление касательной (см. рисунок).

Направление касательной по Робервалю.

Третьей основной задачей было вычисление максимумов и минимумов. Такая проблема возникала во многих повседневных ситуациях. Считается, что задачи подобного рода появились, когда Кеплер начал изучать оптимальные формы, которые должны были иметь бочонки с вином. Он доказал, что из всех прямоугольных параллелепипедов с квадратным основанием и одной и той же площадью поверхности у куба наибольший объем. Подобного рода задачи также встречались в баллистике и при изучении движения планет.

Четвертой группой задач были измерения, предполагавшие спрямление кривых, то есть трансформацию фрагмента кривой в отрезок той же длины, в связи с чем можно было узнать размер этого фрагмента кривой: нахождение квадратуры кривой, то есть площади, ограниченной этой кривой, и нахождение кубатуры тела, то есть его объема. В данную группу задач входило также вычисление центров тяжести тел и гравитационного притяжения между ними.