Лейбниц. Анализ бесконечно малых | страница 34

Кроме арифметической машины одним из первых результатов своих исследований, с которыми Лейбниц познакомил Королевское общество, был метод нахождения суммы членов бесконечных рядов.

Первая известная сумма бесконечных членов найдена для так называемой геометрической прогрессии. Результаты вычисления суммы этого ряда фигурируют уже в папирусе Ринда. Задача заключается в том, чтобы найти сумму бесконечного количества степеней, основание которых — число, меньшее единицы. Самый традиционный пример — сумма геометрической прогрессии:

1/2+(1/2)^>2+(1/2)^>3+(1/2)^>4+ ... + 1/2+1/4+1/8+1/16+ ...= 1

Этот процесс нагляден: возьмем за единицу площадь квадрата, который мы разделим на две части, и одну из них — снова напополам; из двух оставшихся частей одна снова делится посередине, и теоретически можно продолжить данный процесс до бесконечности. Суммой всех полученных нами фигур является исходный квадрат, то есть единица. С этим типом рядов, которые обычно представлены следующим выражением:

∑r^>n = 1+r+r^>2+r^>3+r^>4+...

^>n≥0

знакомы и работают ученики средней школы. Чтобы найти значение суммы, нам нужно сложить п членов геометрической прогрессии, а затем умножить эту сумму на знаменатель прогрессии г. Затем вычитаем одно выражение из другого:

S = (1+r+r^>2+r^>3+r^>4+...+r^>n)- (r • S = r+r^>2+r^>3+r^>4+r^>5+...+r^>n+1)/(S - r • S = 1 - r^>n+1)

Таким образом мы можем выделить S и получить значение суммы, которое мы искали:

S = (1-r^>n+1)/(1-r)

Теперь, если принять, что r имеет значение, меньшее 1, и что вместо сложения п членов мы складываем бесконечное количество, значение rn^>+1 становится нулем, и, следовательно, сумма сводится к:

S = 1/(1-r)

Математики всегда искали формулы, которые бы позволили с легкостью складывать большое число членов. Уже в античности были известны суммы членов рядов первых степеней: n, n^>2 и n^>3.

1+2+3+4+5+6+7+...+ = n(n+1)/2 = n^>2/2+n/2,

1^>2+2^>2+3^>2+...+n^>2 = n(n+1)(2n+1)/6 = n^>3/3+n^>2/2+n/6,

1^>3+2^>3+3^>3+...+n^>3 = n^>2(n+1)^>2/4 = n^>4/4+n^>3/2+n^>2/4.

Но с самого начала математики были очень заинтересованы в изучении конкретного случая, когда сумма бесконечного числа членов дает конечное значение. Над этой проблемой работали, например, Демокрит и Архимед.

На основе геометрического ряда

∑r^>n

^>n≥1

в Средние века исследовали ряды степеней, в которых менялись местами основание и показатель степени, например:

∑n^>r

^>n≥1

Вскоре было замечено: если показатель степени r положительный, а n — целое число, сумма превращается в бесконечность. Когда показатель степени r отрицательный, получаются степени дробей, меньших единицы, то есть сумма