log>ab = х ↔ а>х = b.
Например, логарифм 81 по основанию 3 равен 4 (log>381 = 4), поскольку З>4 = 81.
Нахождением логарифма называется операция, обратная возведению в степень, точно так же, как вычитанием является действие, обратное сложению. Если у нас есть значение суммы и мы знаем одно из слагаемых, поиск другого слагаемого означает вычитание из суммы значения известного слагаемого; следовательно, это обратные операции. Точно так же, если мы знаем значение степени и ее показатель, найти основание равносильно извлечению корня, то есть нахождению корня той же степени из значения данной степени. А если мы знаем основание, нахождение показателя степени превращается в нахождение логарифма по этому основанию значения этой степени. Поскольку сумма двух чисел обладает свойством коммутативности, то есть порядок слагаемых не меняет сумму, у этой операции есть только одна противоположная. Поскольку возведение в степень некоммутативно, существуют две обратные операции, в зависимости от того, известно ли основание или показатель степени.
Наряду с логарифмами по основанию 10, которые обычно просто сокращаются как log или lg, без указания основания, также широко используются логарифмы по основанию е, трансцендентного числа из той же серии, что и знаменитое число я. Эти логарифмы получили название натуральных логарифмов и обычно обозначаются In или log>e.
Укажем основные свойства, на которых основывается вычисление с помощью логарифмов и которые верны для любого основания.
— Логарифм произведения двух чисел равен сумме логарифмов этих двух множителей: log (а • b) = loga + logb.
— Логарифм частного двух чисел равен разности между логарифмом числителя и логарифмом знаменателя:
log(a/b) = lig a - log b.
— Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания: loga>b = b • loga.
Из вышеперечисленных свойств видно, что операции заменяются другими, более простыми. Изначально для применения данного метода было необходимо напрямую работать с таблицами логарифмов.
Метод логарифмического исчисления сразу же взяли на вооружение современики, которые смогли оценить те удобства, которые он обеспечивал. И очень быстро были созданы первые механические инструменты, упрощавшие использование логарифмов.
Считается, что английский астроном и математик Уильям Отред (1575-1660) был первым, кто применил греческую букву я для обозначения соотношения между длиной окружности и ее диаметром. Также ему приписывается использование символа х для обозначения умножения и сокращенных обозначений sin и cos для тригонометрических функций синус и косинус. Но в историю он вошел благодаря изобретению в 1621 году логарифмической линейки. Отред создал пару таблиц, содержащих значения логарифмов. С их помощью можно было совершать математические операции, перемещая одну таблицу вдоль другой. Любопытно, что когда логарифмическая линейка впервые поступила в продажу, она имела круглую форму и представляла собой ряд концентрических дисков, на которых располагались значения логарифмов и которые вращались вокруг центра. Этот инструмент обычно называют круглой логарифмической линейкой.
