Ω = (N + Р-1)!/Р!(N-1)!.
В цепочке у нас есть N + Р - 1 символов. Факториал в числителе означает все возможные комбинации крестиков и кружков. Факториалы в знаменателе показывают, что порядок, в котором идут кружки и крестики, не имеет значения, так как осцилляторы и элементы энергии неразличимы. Планк прибегнул к известному приближению, формуле Стирлинга, по которой Inn! = nlnn - n. И так как N и Р значительно больше единицы, получается:
S = k[(N + Р)lп(N + Р) - PlnP - N/ln/N].
Пользуясь тем, что UN = Pε, и вводя среднюю энергию каждого осциллятора, U>N= NU, Планк пришел к следующему выражению:
S = к[(1 + U/ε)ln(1 + U/ε) - (U/ε)lnU/ε].
Для того чтобы выражение энергии, получаемое из выражения выше, соответствовало закону смещения Вина, Планк доказал, что S может быть только функцией частного U/v. Это заставляет прибегнуть к гипотезе ε = hv, в которой h — константа, называемая сегодня постоянной Планка. С учетом этого получается:
S = к[(1 + U/hv)ln(1 + U/hv) - (U/hv)lnU/hv].
Второе начало термодинамики дает нам отношение между энергией и температурой:
1/T = dS/dU
Вычисляя производную и U, мы получаем среднюю энергию осциллятора:
U>v = hv/(e>hv/kT - 1)
Используя отношение между энергией осциллятора и электромагнитным полем, с которым он находится в равновесии, получаем выражение:
u>v = 8πh/c³·v³/(e>hv/kT - 1)
которое представляет спектральное распределение энергии, обнаруженное Планком эмпирическим путем.
К этим факторам Планк добавил квантовую гипотезу, необходимую для выполнения закона, правильность которого была доказана эмпирически. Также отметим, что каждый осциллятор может поглощать и испускать энергию излучения в величине, пропорциональной V. Когда осциллятор поглощает или испускает электромагнитное излучение, его энергия
увеличивается или уменьшается на величину hν. Кроме того, энергия осцилляторов квантуется. Энергия осциллятора с частотой v может принимать следующие величины: hv, 2hv, 3hv, ..., nhv.
Из всех этих составляющих, на взгляд Планка, самой значимой была не квантовая теория, а необходимость прибегнуть к вероятностной интерпретации Больцмана. Нужно понимать, что в конце века электродинамика и термодинамика были достаточно изучены, при этом идеи Больцмана вызывали довольно бурную полемику, особенно в Германии. И Планк стал первым из физиков после самого Больцмана, который использовал его методы. Тот факт, что идеи Больцмана привели его к успеху, поразил самого Планка, и по сравнению с этим квантовая гипотеза отходила на второй план. Как мы увидели, Планк был вынужден прибегнуть к ней, чтобы достичь нужного результата, а именно соответствия закону, который он открыл несколькими месяцами ранее и скрупулезно вместе с Рубенсом проверил его соответствие экспериментальным данным. Только использование квантовой теории позволяло привести расчет вероятностных состояний системы осцилляторов к ожидаемому результату.
