МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Задача, предложенная Гауссу, касалась вычисления траекторий планет на основе минимального количества наблюдений (по крайней мере, трех). Математически она была чрезвычайно сложной, поскольку нужно было решить шесть уравнений с шестью неизвестными. При этом вычислить точные решения было невозможно и нужно было найти приближенные. Да, решение линейной системы какой-либо задачи, в которой столько же неизвестных, сколько и уравнений, может быть довольно трудоемким, но не предполагает технических сложностей. Однако в этом случае система уравнений была нелинейной. Вычисление орбиты Цереры, как и почти все вычисления Гаусса, включало в себя искусное использование последовательных приближений. Следует отметить прагматизм ученого, который использовал любой доступный математический инструмент. При этом он ввел множество идей, полное доказательство которых далеко не тривиально.
На первом этапе нужно было определить возможную орбиту, а затем, что еще сложнее, осуществить постепенную коррекцию. В целом наблюдаются три типа орбит: эллиптические, параболические и гиперболические. До Гаусса были достигнуты некоторые успехи, например в определении орбиты Урана, но это было довольно просто, поскольку изначальное предположение о том, что Уран описывает круг вокруг Солнца, было недалеко от истины ввиду очень небольшого эксцентриситета орбиты планеты. Кроме того, имелись многочисленные наблюдения, помогавшие скорректировать любую ошибку. В случае с Церерой Гаусс располагал результатами только 41 дня наблюдений; кроме того, ее орбита имела высокую степень эксцентриситета, поэтому гипотеза круга, на которой основывались Ольберс и фон Цах, не сработала. Подход Гаусса был основан только на имевшихся наблюдениях, и для решения задачи ученый пользовался эвристическими методами, то есть улучшал результат шаг за шагом. В эвристических методах используется итерация, при которой найденные частичные решени я служат основой для нахождения новых решений, более близких к реальному решению задачи.
Метод наименьших квадратов, созданный Гауссом, — это техника числового анализа, состоящая в математической оптимизации. Цель — нахождение функции, которая бы наилучшим образом подходила известным данным. Математическая идея следующая: пусть (x>1, y>1), (х>2, y>2), ..., (x>n, y>n) — пары данных, полученных при реальных наблюдениях за переменными X и Y. Теперь предположим, что между переменными X и Y существует связь, определяемая функцией ƒ, так что ƒ(х
