Вторая операция называется И (конъюнкция), Сложное высказывание А и Б истинно в том, и только в том случае, если истинны оба составляющих его высказывания. Например: ясная погода — это когда снег не идет и дождь не идет.
Кроме операций, в формальной логике изучаются отношения. Простейшее — отношение эквивалентности. Если высказывания А и Б связаны между собой отношением эквивалентности (А эквивалентно Б), то оба они должны быть либо одновременно истинными, либо одновременна ложными. Так, запись «А эквивалентно Б и В» справедлива, то есть отвечает законам формальной логики, если в качестве высказывания Б взято, к примеру, высказывание «Я съел суп», в качестве высказывания В — «Я съел второе», а в качестве высказывания А — «Я пообедал».
Операции НЕ, И и ИЛИ, вместе взятые, обладают замечательным свойством функциональной полноты. Любое сколь угодно сложное высказывание конструируется как последовательность более простых высказываний, связанных между собой операциями НЕ, И и ИЛИ.
Что получается? Все, что в обычном языке называется рассуждением или умозаключением, представляет собой логическую конструкцию. Наука логика учит строить подобные конструкции и в процессе строительства исключать из них явные и скрытые противоречия. Логика позволяет также устанавливать истинность или ложность сложных высказываний, когда известна истинность или ложность составляющих их простых высказываний. На страницах этой книги мы не раз обратимся к логике. Пока отметим важную деталь. Высказывание, построенное по законам логики отличается несомненной стройностью, больше того — красотой.
Мужик и медведь
Строгие рассуждения подчиняются логическим законам. Значит, если создать вещь, действия которой подчиняются логическим законам, то будут все основания считать эту вещь способной рассуждать? Вероятно, так думал немецкий философ-идеалист, математик, физик и изобретатель Г. В. Лейбниц. Поэтому он построил уникальную для своего времени «рассуждающую» машину. Она состояла из движущихся рычажков и обладала способностью строить простейшие умозаключения. Как работала машина Лейбница, проще всего понять на примере деревянной игрушки «Мужик и медведь».
Фигурки мужика и медведя укреплены на стерженьках, концы которых прибиты к планке маленькими гвоздиками. Потянули планку вправо — по наковальне ударяет мужик. Подвинули планку влево — по наковальне ударяет медведь. Действия этой игрушки отвечают законам формальной логики. Медведь — всегда медведь, мужик — всегда мужик. Планка может быть передвинута или влево, или вправо. И медведь и мужик могут или ударять по наковальне, или не ударять. Если ударил, значит, ударил, если нет — то нет. Наконец, фигурки действуют, когда вы перемещаете планку. Высказывание «мужик ударил» истинно, когда планка передвинута вправо. Работа игрушки описывается логической формулой: «мужик ударил» эквивалентно «медведь не ударил».
