Тоже ничего сложного. Следующее число – 32. На каждом шаге члены этой последовательности удваиваются. Эта зависимость, которую называют экспоненциальным ростом, управляет ростом многих величин; поэтому важно понимать, как работают такого рода паттерны. К примеру, поначалу последовательность выглядит вполне невинно. Именно так, видимо, считал индийский царь, согласившийся заплатить создателю шахмат ту цену, которую тот просил за свою игру. Изобретатель попросил положить на первую клетку шахматной доски одно рисовое зерно, а затем удваивать число рисинок на каждой следующей клетке. Первый ряд клеток выглядел вполне безобидно. На нем оказалось всего лишь 1 + 2 + + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255 зерен риса. Этого едва хватило бы и на одно суши.
Но слуги царя добавляли на доску все больше и больше риса, и вскоре их запасы иссякли. Чтобы заполнить половину клеток, понадобилось около 280 000 килограммов риса. И это была легкая половина доски. Сколько же зерен риса царь должен был отдать изобретателю? Этот вопрос похож на одну из задач, которые мог задавать своим бедным ученикам герр Бюттнер. Есть трудный способ решить ее: нужно сложить все 64 разных числа. Кто же захочет заниматься такой тяжелой работой? И как подошел бы к такому заданию Гаусс?
Для этого вычисления существует очень красивый шорткат, но на первый взгляд может показаться, что он только усложняет задачу. Вначале часто кажется, что шорткат ведет не к цели, а в прямо противоположном направлении. Прежде всего я дам суммарному числу зерен риса имя: я назову его Х. Это одно из самых популярных имен в математике; как я покажу в главе 3, оно и само по себе является могущественным шорткатом из арсенала математика.
Для начала я удвою то число, которое пытаюсь вычислить:
2 × (1 + 2 + 4 + 8 + 16 +… + 2>62 + 2>63).
Казалось бы, это только осложняет мне жизнь. Но посмотрите, что я сделаю дальше. Раскроем скобки:
= 2 + 4 + 8 + 16 + 32 +… + 2>63 + 2>64.
Теперь применим одну хитрость. Я собираюсь вычесть из этого выражения Х. На первый взгляд кажется, что тогда мы вернемся туда же, откуда начали: 2Х – Х = Х. Какой в этом толк? Чудо происходит тогда, когда я заменяю 2Х и Х на суммы, которые я выписал выше:
2X – X = (2 + 4 + 8 + 16 + 32 +… + 2>63 + 2>64) – (1 + 2 + 4 + 8 + 16 +… + 2 >62 + 2>63).
Почти все слагаемые взаимно уничтожаются! Не уничтожаются только 2>64 из первой части и 1 из второй. Таким образом, у нас остается только следующее выражение:
