Янг: «Это (расслоенные пространства. — И.Р.) приводит в трепет и изумление, поскольку вы, математики, выдумали эти понятия из ничего».
Черн: «Нет, нет! Эти понятия вовсе не выдуманы. Они существуют на самом деле».'
------------------------------' Янг Ч. Эйнштейн и физика второй половины XX века // УФН. 1980. Т.132. С.174. О расслоенных пространствах см. также ст.: Даниэль С., Виалле М. Геометрический подход к калибровочным теориям типа Янга — Миллса // УФН, 1982. Т.136. С. 377–420; Бернстейн Г., Филлипс Э. Расслоения и квантовая теория // УФН. 1982. Т.136. С. 665–692. ------------------------------
Этот диалог весьма примечателен. Математики часто строят конструкции, кажущиеся физикам абстрактными, не связанными с физическими ценностями. Разные подходы математиков и физиков приводят к недооценке адекватности некоторых «абстрактных» математических методов физическим проблемам. В результате эти методы заново переоткрываются физиками. Пожалуй, классический пример подобной ситуации переоткрытие В.Гейзенбергом в 1925 г. матричного исчисления, которое он использовал для создания квантовой механики. Лишь после бесед с М.Борном он узнал, что теория матриц — хорошо разработанный раздел математики практически не используемый физиками.
После этих предварительных замечаний целесообразно перейти к изложению основных идей геометрии расслоенных пространств. Начнем с представления основных образов (картин) расслоенных пространств.
Первый связан с обобщением понятия точки. Точка в расслоенном пространстве эквивалентна автономному пространству. Иначе говоря, можно наглядно представить, что точка в расслоенном пространстве эквивалентна точке в смысле Евклида (объект, лишенный протяжения), к которой «прикреплено» (или лучше: которой соответствует) свое пространство. Можно представить расслоенное пространство в целом. Оно представляет совокупность большого числа (как правило, бесконечного множества) пространств, из которых одно, называемое базой, играет особую роль. Каждая точка этого пространства взаимно однозначно связана со своим пространством, называемым слоем над базой. Каждой точке в базе соответствует свое пространство (слой), отражающий структуру точки.
Приведем некоторые простейшие примеры расслоенных пространств. Пусть база — прямая, т. е. евклидово одномерное
1 пространство' R|. Каждой точке базы — прямой — соответствует
1 окружность S|, расположенная в плоскости, перпендикулярной базе, центром которой является данная точка базы. Радиусы всех окружностей одинаковы. Расслоенное пространство определено однозначно. В данном случае размерности слоев и базы одинаковы и равны 1. Полное расслоение пространства представляет цилиндр и его ось.
