Оговоримся в заключение, что под существенным изменением геометрии мы понимаем кардинальную вариацию ее параметров, например размерности. В дальнейшем мы не раз будем останавливаться на связи геометрии (в частности, размерности) и динамики. Далее будет продемонстрировано, что один из основных параметров пространства — его размерность предопределяет в значительной степени динамику.
И еще одно замечание. Раздельный анализ геометрии и динамики возможен лишь для трех взаимодействий: электромагнитного, слабого и сильного. В рамках эйнштейновской теории гравитации динамика и геометрия сливаются в единое целое, и тогда простота сделанных выше заключений утрачивается. К этому усложненному пониманию взаимосвязи геометрии и физики мы вернемся позже.
5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Аналитическая геометрия сводит понятие точки к набору чисел — координат. Координаты — расстояния до некоторой системы линий, называемых осями координат. Простейший способ системы координат — набор взаимно ортогональных осей — система декартовых координат (названная в честь основателя аналитической геометрии Р.Декарта). Полезно перечислить крупнейшие достижения аналитической геометрии. Существенно уточнено понятие точки (набор чисел). Появилась возможность оперировать с пространствами любой целочисленной размерности. В пространстве N измерений точку определяют N чисел. Значение этого достижения аналитической геометрии в полной мере начали осознаваться сравнительно недавно. Лишь основываясь на ее методах (или модификациях этих методов), можно анализировать многомерные пространства, которые казались математической экзотикой, а сейчас приобрели большую актуальность.
Преимущества аналитических методов при отображении многомерных пространств проявляются в отсутствии необходимости наглядно себе их представлять или моделировать реально в нашем пространстве — особенностях, обусловленных в первую очередь нашей психологической ограниченностью. Человек привычно представляет фигуры с размерностью N≤3, но не способен вообразить объект большей размерности.
Для аналитической же геометрии размерность N=3 лишь одна из бесконечного набора возможностей (1≤N=
При операциях в пространстве N измерений следует определить N координатных осей.
И наконец, еще одно преимущество аналитической геометрии. Она сильно упрощает представления о геометрических образах, заменяя их (зачастую весьма простыми) уравнениями. Например, в декартовых координатах уравнение прямой: y=ax+b (a, b=const); уравнение окружности: (x-a)**2+(y-b)**2=c**2 и т. д. Нетрудно описать, реализовать евклидово пространство в рамках аналитической геометрии.
