Все это время я продолжал заниматься теорией потенциала. Моя работа протекала в двух направлениях. Прежде всего, я пришел к новому пониманию связи между значениями электромагнитного потенциала внутри области и его значениями на границе. Как я уже указывал, первоначально предполагалось, что значения электромагнитного потенциала внутри области должны непрерывно переходить в значения на границе и однозначно определяться этими последними. Мне, однако, удалось обнаружить, что в теории потенциала могут быть использованы некоторые понятия, родственные упоминавшемуся раньше обобщенному интегрированию, и что при этом приходится считать, что потенциал внутри области должен определяться значениями потенциалов в окрестности границы и что непрерывность при подходе к границе вполне может и нарушаться. Руководствуясь примером теории обобщенного интегрирования П. Дж. Даниеля, о которой я рассказывал выше, я пришел затем к существенному обобщению ряда понятий теории потенциала, начиная с самых основных понятий заряда и емкости. Основным моим нововведением было то, что зависимость значения потенциала во внутренней точке от граничных значений я рассматривал как некоторое обобщенное интегрирование, а не как простейшую непрерывную связь, при которой значения на границе могут быть получены из внутренних значений с помощью предельного перехода. Такой подход, по существу, означал, что обычная постановка задачи с граничными условиями заменялась обратной постановкой. Как и во многих других математических вопросах, такое обращение точки зрения внесло свежую струю в область исследований, долгое время казавшуюся совершенно мертвой.
Мой старший друг и наставник профессор X. Б. Филлипс из МТИ еще раньше рассматривал величины, аналогичные потенциалу, заданные на квадратной сетке (типа сетки решета) и на некоторых трехмерных структурах, родственных такой сетке. С помощью новых общих понятий теории потенциала мне удалось показать, что его результаты являются важным шагом в построении универсальной теории потенциалов любого рода.
Я полагал, что сумел пополнить арсенал обычных средств теории потенциала значительным числом новых, метких соображений. Применив их к старой проблеме Зарембы, полное решение которой оставалось неизвестным, я выяснил, что не ошибся в своих ожиданиях. Примерно в это же время на страницах «Трудов» (Comptes Rendus) Французской академии наук начали появляться многочисленные статьи по теории Зарембы, принадлежащие Лебегу и его молодому ученику Г. Булигану.
