Теория расчета нефтяных аппаратов высокого давления | страница 9
Для оболочек, как отмечает Зенкевич [16,с.352], записывается матрица масс конечных элементов (для плоских и изгибных напряжений), по которой находится общая матрица масс. Матрица масс строится аналогично матрице жесткости. Зенкевич на этом основании заключает, что решение задачи о колебаниях оболочек не вызывает затруднений.
В работе [16,с.176] Зенкевич отмечает, что введение инерционных членов в статическую задачу не усложняет решения. После вычисления матрицы масс элементов, задача принимает вид стандартной системы с конечным числом степеней свободы.
Для оболочки, совершающей перемещения (движение) динамическая задачи переводится в статическую задачу приложением сил от ускорения (по принципу д’Аламбера).
В работе [16,с.176] показано, что расчет упругой конструкции в условиях статической нагрузки описывается уравнением:
В этом уравнении [K] – матрица жесткости объединенной конструкции, {δ} – матрица всех узловых смещений, {Р} – матрица всех узловых нагрузок.
{F}p – силы в узлах от распределенных нагрузок, см. [38,с.176],
{F}ε0 – силы в узлах от начальной деформации, см. [38,с.21].
Матрица динамических сил в узлах [16,с.176]:
Матрица распределенной нагрузки [16,с.177]:
Распределенная нагрузка выражается в виде эквивалентных узловых сил [16,с.177]:
После подстановки в первоначальное уравнение [16,с.177]:
Матрица внешних масс, прикладываемых к узлам сетки [16,с.177]:
Матрица масс, объединяющая матрицы масс конечных элементов [16,с.177]:
Для колебаний с затуханием первоначальное уравнение записывается в виде [16,с.186]
([С] – матрица затухания колебаний)
Матрица затухания колебаний [С] находится аналогично матрице масс [М].
Для внешней силы можно записать [16,с.186]:
C учетом этой записи получается форма решения в виде [16,с.186]:
Первоначальное уравнение, решенное относительно {δ0} [16,с.186]:
Из последнего уравнения записывается система двух уравнений [16,с.187]:
с учетом записи {δ0} является комплексным и [16,с.186]:
Реакция конструкции с затуханием колебаний на периодическое воздействие силы с угловой частотой ω находится решением системы уравнений [16,с.187].
Получение n собственных величин и {δ’0}I собственных форм колебаний получается решением уравнения [16,с.178]:
В случае свободных колебаний, уравнение, указанное для колебаний без затухания записывается в виде [16,с.178]:
Колеблющаяся конструкция представляет собой систему с конечным числом степеней свободы. Каждая точка конструкции движется в заданной фазе [16,с.178]:
