Правила счета элементов бесконечного множества | страница 28

После завершения счета мы обнаруживаем, что одна единственная линия квадрата и отождествляемая с ним линия имеют равные мощности или количества точек. Но на квадрате таких линий – счетное множество (помним и отвергаем утверждение о несчётности действительных чисел). Следовательно, общее число точек на квадрате в счетное множество раз превышает число точек на любом его отрезке и отождествляемой линии.

Однако все рассмотренные отождествления, зависимые от способа счета, построены таким образом, что подсчет числа точек всегда приводит к результату либо большей, либо равной мощности множества точек квадрата по сравнению с множеством точек отрезка. Но можно подобрать и такое правило счета, что соотношение изменится на обратное: окажется, что число точек в отрезках является более мощным множеством. Для этого возьмем не один, а несколько одинаковых квадратов, просто выбрав в кубе несколько разных сечений, и одну линию с длиной ребра куба. Попробуем отожествить все точки этих квадратов с точками на линии. Вновь воспользуемся методикой нумерации точек, предложенной Кантором. Согласно ей, для того чтобы точки на квадратах можно было различить и из очевидных соображений мы обязаны признать, что квадраты имеют ещё одну координату. То есть, каждая точка квадрата в кубе в этом случае характеризуется тремя координатами:

Для простоты, что, вообще-то, усложняет наше опровержение, ослабляет его, возьмём значения этих координат в кратчайшем виде, в виде единственной цифры от 0 до 9 без последующих дополнительных нулей, что во много раз увеличит число таких комбинированных точек, принадлежащих каждому квадрату. Для определенности возьмем в кубе 10 сечений, причем имеющие точное значение координаты s = 0; 0,1; 0,2 … 0,9. Теперь создадим по методу Кантора новые числа для точек каждого квадрата. Согласно этому методу каждая точка квадрата будет описываться новым числом – индексом. Исходные координаты задаём в следующем формате:

из которых формируем индекс:

Здесь символом γ обозначен номер квадрата или, что то же самое, его координата в исходном кубе. Например, точки квадрата с номером s = 0,5 будут описываться индексом:

Как видим, закономерно и оправданно все точки и, соответственно, скомбинированные числа отличаются друг от друга, а все точки этого квадрата расположатся на интервале 0,5…0,6 отождествляемой линии и, более того, на линии останется бесконечное число точек, которым не будет соответствовать ни одна точка этого квадрата. Это точки, для которых индекс должен был бы содержать вместо нулей в позициях, кратных трём, другие цифры. Ничего не изменится, если цифру координаты s ставить в тройках последней.