Правила счета элементов бесконечного множества | страница 13

Количество цифр α, β, γ и δ в записях может быть любым. Теперь, используя метод комбинации, можно получить число N, инверсная запись которого и будет обозначать натуральный порядковый номер этого числа в их бесконечном массиве. Например, приведенное выше комплексное число будет иметь в бесконечном массиве всех возможных комплексных чисел натуральный порядковый номер 200 123 021 325. Кстати, можно заметить, что в таком массиве первые 10 чисел (0…9) являются реальными, а число i (комплексная единица) находится на позиции 100 и имеет порядковый номер 10. Также заметим, что при таком подходе основой всех чисел являются вещественные числа, а различные комплексные и им подобные – это простая комбинация этих базовых чисел. Условно говоря – все эти комбинационные числа являются своеобразной тенью, миражом чисел реальных.

Нетрудно заметить, что нумерация комплексных чисел тождественна нумерации точек квадрата. В этих частных случаях можно легко применить для их нумерации традиционный диагональный процесс Кантора.

Далее, если составить множество строк, подобных выражению (3), в каждой из которых вместо нуля теперь уже будут записываться последовательные натуральные числа, то образуется квадратная таблица, матрица, содержащая все без исключения положительные действительные числа. То есть, запись (3) будет иметь следующую расширенную форму:

где x, y – это обычные натуральные числа, которые, как и выше, записаны в обратном порядке, "задом наперед", что обозначено обратными стрелками над ними. Нетрудно догадаться, что эти числа могут обозначать соответствующие координаты точек квадрата.

Дублирование строк со знаком минус добавит в таблицу и все отрицательные действительные числа. Если теперь записать матрицу координат его точек по выражению (5) для их подсчета диагональным процессом Кантора [3, с.70], то полученная запись будет иметь вид:

Нетрудно заметить, что такая запись содержит весь бесконечный ряд действительных чисел, причем слева (столбцом) и справа от запятой записаны независимые ряды в диапазонах значений от 0 до 1. Понятно, что ряд слева от запятой нужно читать справа налево, добавив в начале него 0 и запятую.

Такая трактовка этих последовательных числовых рядов позволяет присвоить значения их членов координатам точек квадрата, присвоить каждую пару этих чисел x,yкаждой из точек квадрата со стороной 1 – без взаимных пропусков, то есть, обеспечить их полное биективное соответствие. Действительно, каждая точка квадрата на его некоторой, например, горизонтальной линии может быть пронумерована, как и точки линии, дробной частью