Когда же мы ищем ответ в отношении разности, количество чисел, больших заданного числа, бесконечно. Следовательно, количество разностей, которые, возможно, придется проверить, не ограничено, и может случиться так, что этот процесс не завершится никогда.
Пьер де Ферма (1607–1665) открыл одно интересное обстоятельство, связанное с простыми числами; оно называется «рождественской теоремой Ферма»[25]. Он показал, что любое простое число вида 4n + 1 (например, 5, 13, 17, 29…) есть сумма двух квадратов, а любое простое число вида 4n – 1 (например, 3, 7, 11, 19…) не может быть представлено в виде суммы двух квадратов. Каждое простое число, кроме 2, – либо число вида 4n + 1, либо число вида 4n – 1 (докажите это утверждение самостоятельно). Например, 41 – простое число вида 4n + 1 (4 × 10 + 1), и его можно представить в виде суммы двух квадратов (5² + 4²). А вот 19 – простое число второго вида (4 × 5 – 1), и его невозможно представить в виде суммы двух квадратов. Хотя показать, что, например, число 19 не является суммой двух квадратов, легко, доказать рождественскую теорему Ферма в общем случае не так-то просто.
В книге «Апология математика» Г. Г. Харди приходит к заключению, что упомянутое открытие Ферма – пример «изящной математики» и красивейшая из математических теорем наравне с евклидовым доказательством бесконечности простых чисел.
Что же, раз мы заговорили о «заключениях», нам пора заключить этот раздел о тайной жизни простых чисел и отправиться в (безграничный) мир бесконечности.
Математика, если взглянуть на нее с правильной точки зрения, обладает не только истиной, но и совершенной красотой – красотой холодной и суровой, как красота скульптуры, не потакающей нашим слабостям, лишенной роскошных приманок живописи или музыки, и все же безукоризненно чистой и способной на строгое совершенство, доступное лишь величайшему искусству[26].
Бертран Рассел
