Рассмотрим число 1742, то есть номер года, в котором была выдвинута эта гипотеза. Попробуем, например, такой вариант: 1742 = 13 + 1729.
Заметили ли вы, кстати говоря, что 1729 – это тот самый номер такси, на котором Харди приехал навестить больного Рамануджана? Так вот, сложение 1729 с несчастливым числом 13 дает 1742. Есть только одна крупная неувязка: 1729 (как вы уже должны знать) – число составное: 1729 = 19 × 91. Разумеется, мы с легкостью можем найти другие решения, например, 1742 = 19 + 1723 или 1742 = 43 + 1699… Проверьте, простые ли все эти числа! Вы также можете предложить свои собственные варианты разложения 1742 на два простых слагаемых.
При всем уважении к многочисленным открытым проблемам, касающимся простых чисел, о которых мы говорили до этого, гипотеза Гольдбаха, несомненно, самая знаменитая из них. Гипотеза о простых числах-близнецах занимает лишь второе место. Все же остальные задачи далеко отстают от этих двух по части известности и интереса, который они вызывают.
В 2000 г. была опубликована книга греческого математика-вундеркинда Апостолоса Доксиадиса «Дядя Петрос и проблема Гольдбаха». Издатель Тоби Фабер предложил приз миллион долларов любому, кто решит задачу Гольдбаха в течение двух лет после выхода книги[24]. Это был настоящий шедевр маркетинга – максимальная шумиха при минимальном риске, – и действительно, претендентов на этот приз не нашлось. Так что теперь тому, кто решит эту задачу, придется удовольствоваться гораздо более скромным (хотя и гораздо более почетным) призом, который назначил Пал Эрдёш.
Решение задачи Гольдбаха, когда и если оно наконец будет найдено, может появиться с двух разных сторон: либо будет открыто четное число, которое невозможно представить в виде суммы двух простых чисел (что называется опровержением, или контрпримером), либо кто-нибудь обоснует причину, по которой все четные числа можно представить таким образом. Пока что было исследовано огромное множество четных чисел (до 10>18), и все они могут быть записаны в виде суммы двух простых чисел. Тем не менее это ничего не значит. Даже если мы проверим все до единого четные числа вплоть до 1 000 000 000 000 000! (а это квадриллион факториал!) и выясним, что все они до единого могут быть представлены в виде суммы двух простых чисел, вполне может оказаться, что следующее же четное число, 1 000 000 000 000 000! + 2, станет первым исключением из действовавшего в наших результатах правила и опровергнет гипотезу.
