Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение | страница 47

По мере увеличения чисел средняя разность двух последовательных простых чисел тоже становится больше. Однако существует теорема, которая устанавливает верхний предел редкости появления простых чисел среди чисел натуральных. Она утверждает, что отношение

где P_>i – значение i-го простого числа, приближается к нулю по мере приближения i к бесконечности.

Я переведу это утверждение с математического жаргона на язык понятный и нематематикам. Теорема эта означает, что отношение длины промежутка между простыми числами к самим простым числам становится меньше с увеличением i. Ниже приведен список значений начиная с i = 1. Чтобы было яснее, уточню, что в первой строке i равно 1; следовательно, P_>i – это первое простое число, то есть 2, а P_>i>+1 – второе простое число, то есть 3. Во второй строке i = 2, а простые числа – P_>2 = 3 и P_>3 = 5 и так далее.

Как вы видите, значение выражения

имеет тенденцию становиться все меньше и меньше по мере увеличения i (значение этого выражения не уменьшается монотонно; оно лишь проявляет общее снижение с ростом P), потому что при больших простых числах его числитель становится много меньше знаменателя. Это означает, что разность последовательных простых чисел (чисел, стоящих в числителе) растет медленнее, чем значения самих этих чисел, что и приводит к уменьшению отношения. Хотя в первых строках списка есть некоторая нестабильность, если рассмотреть общую тенденцию, можно увидеть, что промежутки между простыми числами становятся все меньше по сравнению с самими этими числами.

Несмотря на многолетние исследования, аспектов простых чисел, которых мы не понимаем, все еще гораздо больше, чем понятных нам.

Вот лишь некоторые из (множества) задач, которые, насколько мне известно, до настоящего времени никто не решил. Может быть, вы захотите попытаться найти их решение. Могу вам гарантировать, что, если вы решите даже одну из них, вы немедленно получите докторскую степень по математике и прославитесь. А если вы еще учитесь в школе или университете, решение этих задач принесет вам полное освобождение от всех дальнейших уроков или лекций. Таковы хорошие новости.

Плохие же новости по-настоящему плохи. В том, что никому до сих пор не удалось решить эти задачи, нет ничего случайного. Они исключительно сложны! Трудно представить себе, сколько усилий математики потратили на попытки их решить. «Бесплатных завтраков не бывает», – говорят нам наши экономисты. Я бы еще добавил к этому, что «не бывает и роскошных банкетов, которые обходились бы дешево».