= 3 и
b = 4. Следует помнить, что
сами эти числа могут и не быть простыми; они лишь должны быть взаимно простыми по отношению друг к другу. Итак, формула нашей прогрессии имеет вид 3
n + 4. Вычислим несколько последовательных членов прогрессии, начиная с
n = 1.
Мы получим такую последовательность чисел: 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31…
Вы, вероятно, уже заметили, что не все числа в этой последовательности простые. Но теорема Дирихле и не утверждает, что все они должны быть простыми числами. Теорема Дирихле гласит, что в последовательности появится бесконечное количество простых чисел – как и в любой последовательности, для которой a и b – взаимно простые числа. Разумеется, ясно, что в этих же последовательностях появится и бесконечное количество составных чисел. Например, в последовательности 3n + 4 результат, несомненно, будет составным числом каждый раз, когда число n кратно 4.
Кстати говоря, фамилия Лежён Дирихле имеет интересную историю. Семья Дирихле происходила из деревушки Ришлет, расположенной вблизи бельгийского города Льежа. Поэтому его прозвали «юнцом из Ришлет» – le jeune de Richelette[19].
Много лет назад меня назначили преподавателем очень особой программы в рамках Математической школы при Тель-Авивском университете. Профессор Бено Арбель отвечал за выявление старшеклассников с исключительными способностями к математике, а я должен был понемногу учить их и готовить к исследовательской работе параллельно с их школьными занятиями. Основной целью этой программы было дать им возможность получить бакалаврскую или даже магистерскую степень еще до окончания старшей школы или вскоре после него. Я часто давал им решать задачи, которые выбирал из своей личной коллекции Международных математических олимпиад, потому что считаю, что лучше всего развивают именно трудные задачи. Одной из задач, которые я задавал на разминочном этапе, была следующая.
Задача
Выпишите 100 последовательных чисел, среди которых не будет ни одного простого числа.
К этому моменту вы, вероятно, уже знаете, что я собираюсь написать дальше. Если вы думаете, что я напишу «попытайтесь немного подумать, прежде чем читать дальше», вы совершенно правы.
Маленькая подсказка
Это непростое упражнение. Первым делом вы, несомненно, подумали, что такая сплошная последовательность чисел должна начинаться с весьма большого числа, – мы уже знаем, что среди малых значений не найдется ста последовательных чисел, среди которых не было бы ни одного простого.
