Но я отвлекся. Вернемся к теме простых чисел.
Первое, что мы можем спросить, завязывая с простыми числами отношения, которые мы собираемся заботливо развивать, это: «Сколько всего существует простых чисел?»
Ответ на этот вопрос первым нашел греческий математик Евклид, отец теоретической геометрии. С Евклидом знаком любой, кто изучал геометрию, – где бы и когда это ни происходило. Все мы заучивали постулаты (аксиомы) Евклида: что через любые две точки можно провести одну, и только одну, прямую или что две параллельные прямые никогда не пересекаются. Собственно говоря, классическая геометрия носит его имя – она называется евклидовой геометрией. И, хотя Евклид разрабатывал свою геометрию более 2000 лет назад, ее до сих пор преподают в точности так, как он ее записал. Можно ли представить себе, чтобы биологию, или химию, или физику преподавали, используя только знания, полученные более 2000 – или даже 200 – лет назад?
Евклидова геометрия оказала сильнейшее влияние на лучшие умы человеческой цивилизации, одним из которых был величайший из философов, Барух Спиноза. Евклидовы методы построения геометрии на основе аксиом и базовых концепций настолько впечатлили Спинозу, что он применил этот подход в главной своей работе, «Этике». Разумеется, Спиноза не говорит в своей книге о точках и прямых. Он рассуждает о концепции Бога и о месте человека в мироздании. Но для представления своих доводов он использует чисто евклидовские методы: Спиноза излагает основополагающие концепции, формулирует конкретные аксиомы, а затем использует их для доказательства теорем. Более того, главное произведение Спинозы называется в латинском оригинале Ethica ordine geometrico demonstrata (хотя эту книгу часто называют просто «Этикой»; точный перевод латинского названия – «Этика, доказанная в геометрическом порядке»).
Но вернемся к Евклиду. Прежде чем мы посмотрим его ответ на вопрос «сколько существует простых чисел?», давайте немного подумаем самостоятельно.
Прежде всего нам необходимо определить, конечно или бесконечно количество простых чисел.
Если их количество конечно, то каково самое большое простое число?
Если же простых чисел бесконечно много, можно ли это доказать?
Можно ли представить себе, что некое действительно огромное, необычайно большое число не делится нацело ни на что, кроме единицы и самого себя, и, следовательно, считается простым числом?
Существует ли формула, которую можно использовать для получения всех простых чисел?
