Платон
Если вы не поленились и прочитали предисловие, вы уже знаете, что у меня есть довольно солидная коллекция книг по математике. Одно из моих любимых занятий – возиться с интересными задачами. Ну, для меня-то это естественно. Я этому и учился. Но чтобы увидеть красоту и изящество математики, необязательно заканчивать математический факультет. Если вам хватает терпения немного подумать, вы найдете тысячи интересных – и иногда весьма знаменитых – математических задач и парадоксов, которыми уже много веков восхищается стар и млад. Стоит приложить немного усилий, и почти кто угодно сможет испытать тот восторг, в который приводит способность решать головоломки, кажущиеся на первый взгляд чрезвычайно сложными.
В этом разделе я представлю скромный набор математических задач из числа моих любимых, от довольно простых до весьма глубоких и даже предположительно неразрешимых (а если вы их все-таки решите, вас ждет премия). Я хочу познакомить вас, мой уважаемый читатель, хотя бы с немногими образцами интереснейших размышлений, которые вы можете найти в поразительном мире математики.
Великое маленькое исследование – открытая проблема
Много лет назад я прочитал удостоенную Пулитцеровской премии книгу Дугласа Р. Хофштадтера «Гёдель, Эшер, Бах». Сам автор называет ее «метафорической фугой о разумах и машинах в духе Льюиса Кэрролла». Она рассказывает о самых разнообразных предметах из царств математики, музыки, симметрии, искусственного интеллекта и логики и содержит множество математических загадок. Я хотел бы познакомить вас с одной из них.
Возьмем любое число – точнее, любое целое или натуральное число. Ахилл (он же Ахиллес – тот самый, у которого были проблемы с пяткой), также ставший одним из персонажей книги Хофштадтера, задумал число 15. Вы, разумеется, можете выбрать любое число по своему вкусу.
Теперь сделаем вот что: если это число четное, разделим его на 2. Если оно нечетное, умножим его на 3 и прибавим 1. Будем повторять эту процедуру снова и снова, пока не получим (если получим) число 1. Посмотрим, как это работает:
Поскольку 15 – число нечетное, умножим его на 3 и прибавим 1.
15 × 3 + 1 дает 46.
46 – число четное: разделим его на 2 и получим 23. Поскольку это число нечетное, умножим его на 3 и прибавим 1.
23 × 3 + 1 = 70
Продолжим этот процесс:
70/2 = 35;
35 × 3 + 1 = 106;
106/2 = 53;
53 × 3 + 1 = 160;
160/2 = 80;
80/2 = 40;
40/2 = 20;
20/2 = 10;
10/2 = 5;
5 × 3 + 1 = 16;
16/2 = 8;
