Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение | страница 12
Однако посмотрим на этот вопрос вот с какой стороны: каждому натуральному числу можно сопоставить натуральное число.
Теперь мы начинаем осознавать эту умопомрачительную концепцию: хотя в множестве четных чисел пропущено каждое второе число (по сравнению с множеством всех натуральных чисел), количество элементов обоих множеств все равно одинаково. Говорят, что это множества одинаковой мощности. В этой книге мы еще поговорим о концепции мощности множества гораздо подробнее.
А это, по сути, подводит нас к вопросу еще более глубокому: можно ли вообще сравнивать бесконечные множества чисел и спрашивать, какое из них больше? Имеют ли слова «больше» и «меньше», «крупнее» и «мельче» вообще хоть какой-нибудь смысл, когда речь идет о бесконечных величинах?
Читайте дальше!
Концепция бесконечности сложна и глубока и иногда действительно кажется невообразимой. Имеет смысл вспомнить, что говорил на эту тему Галилей:
[Это] относится к числу затруднений, происходящих вследствие того, что, рассуждая нашим ограниченным разумом о бесконечном, мы приписываем последнему свойства, известные нам по вещам конечным и ограниченным. Между тем это неправильно, так как такие свойства, как большая или меньшая величина и равенство, неприменимы к бесконечному, относительно которого нельзя сказать, что одна бесконечность больше или меньше другой или равна ей[4].
Несмотря на всю симпатию и все уважение, которые я питаю к Галилео Галилею, я придерживаюсь более оптимистических взглядов. В оставшейся части этой книги мы будем довольно плотно иметь дело с бесконечностью, хотя и останемся, увы, существами до боли конечными. Как сказал Паскаль:
Человек – всего лишь тростник, слабейшее из творений природы, но он – тростник мыслящий[5].
Если вы по-прежнему не уверены в том, что (во всех этих версиях) в полночь в комнате будет бесконечно много мячей, мне остается только пустить в дело тяжелую артиллерию и предложить вам следующую, последнюю версию этого парадокса: предположим, что мячи не пронумерованы; все они – самые обычные белые теннисные мячики.
Наличие или отсутствие нумерации не должно никак повлиять на количество мячей, оказавшихся в комнате к полуночи.
Теперь все должно быть кристально ясно. Если итоговое число мячей на каждом шаге увеличивается, а количество таких шагов до 0:00 бесконечно, то в полночь должно получиться бесконечное число мячей.
Теперь мы можем ответить и на вопрос о том, какие именно мячи будут в комнате.
