— Теория пределов — первый и главный подраздел математического анализа, его основа. Далеко не очевидно, что бесконечная последовательность операций обязана уложиться в конечное время. Из далекой древности пришел к нам парадокс «Ахиллес и черепаха». Вот его формулировка. Ахиллес бежит гораздо быстрее черепахи, но догнать ее никогда не сможет. Почему? Потому что когда он пробежит, например, половину начального расстояния до черепахи, та успеет отползти чуток. Когда Ахиллес пробежит половинку получившегося расстояния, черепаха сумеет еще отползти и так далее. Здравый смысл подсказывает, что черепаха никуда не денется, Ахиллес ее все равно догонит. Теория пределов поясняет по этому поводу, что соответствующий бесконечный ряд — сумма все уменьшающихся половинок расстояний между черепахой и Ахиллесом — сходится, имеет конечную величину. Естественно, за определенное время Ахиллес пробежит этот путь и схватит черепаху, что полностью соответствует нашим ожиданиям. Итак, какие можно сделать выводы? Вперед, смело используем новое для нас понятие всегда и везде? Однако не все так просто. Относиться к потенциальной бесконечности, как и к любой другой математической абстракции, следует весьма уважительно и очень осторожно. Вот, например, хотите, я докажу, что две стороны треугольника равны третьей?
Хотели, конечно, все. Даже Джулия оторвалась от разглядывания себя в зеркальце.
— Возьмем произвольный треугольник со сторонами a, b и c. Найдем серединки сторон и соединим их ломаной S, начинающейся и заканчивающейся на вершинах стороны c. Естественно, длина этой ломаной равна сумме сторон a и b. Вновь найдем серединки сторон треугольничков, прилегающих к стороне c, нарисуем новую ломаную и так далее. В результате подобных операций мы будем получать ломаную S, все более и более приближающуюся к стороне c. Длина этой ломаной на каждом шаге будет равна a плюс b. А что мы получим в пределе, в результате бесконечного количества шагов? Ломаная, очевидно, прочно «уляжется» на сторону c, полностью совпадет с ней. Значит, ее длина будет равна c? Но мы же знаем, что ее длина равна a плюс b. Значит, a плюс b равно c?
Класс возбужденно загудел.
— Где погрешность в моих рассуждениях? — важно спросил довольный Лоркас. Выдержал необходимую паузу и продолжил: — А в том, что наша ломаная S превратилась отнюдь не в отрезок c, а в нечто совершенно непонятное — в какую-то странность, совпадающую с отрезком
