Теория катастроф | страница 6

Рис. 4. Четыре сборки проектирования тора на плоскость

Прозрачный тор редко где увидишь. Рассмотрим другое прозрачное тело — бутылку (предпочтительно из-под молока). На рис. 5 видны две точки сборки. Покачивая бутылку, мы можем убедиться, что сборка устойчива. Тем самым мы получаем убедительное экспериментальное подтверждение теоремы Уитни.

Рис. 5. Экспериментальная проверка теоремы Уитни

После основополагающей работы Уитни теория особенностей бурно развивалась, и сейчас это одна из центральных областей математики, в которой перекрещиваются пути, связывающие самые абстрактные разделы математики (дифференциальную и алгебраическую геометрию и топологию, теорию групп, порожденных отражениями, коммутативную алгебру, теорию комплексных пространств и т. д.) с самыми прикладными (теория устойчивости движения динамических систем, теория бифуркаций положений равновесия, геометрическая и волновая оптика и т. д.). К. Зиман предложил называть совокупность теории особенностей и ее приложений теорией катастроф.

Поскольку гладкие отображения встречаются повсеместно, повсюду должны встречаться и их особенности. А поскольку теория Уитни дает значительную информацию об особенностях отображений общего положения, можно попытаться использовать эту информацию для изучения большого количества разнообразных явлений и процессов во всех областях естествознания. В этой простой идее и состоит вся сущность теории катастроф.

В случае, когда отображение, о котором идет речь, достаточно хорошо известно, имеется в виду более или менее прямое применение математической теории особенностей к различным явлениям природы. Такое применение действительно приводит к полезным результатам, например в теории упругости и в геометрической оптике (теория особенностей каустик и волновых фронтов, о которых мы еще будем говорить дальше).

Однако в большинстве работ по теории катастроф речь идет о куда более спорной ситуации, когда не только неизвестно изучаемое отображение, но и само его существование весьма проблематично.

Приложения теории особенностей в этих ситуациях носят характер спекуляций: чтобы дать о них представление, мы воспроизводим принадлежащий английскому математику К. Зиману пример спекулятивного применения теории Уитни к исследованию деятельности творческой личности.

Будем характеризовать творческую личность (например, ученого) тремя параметрами, называемыми "техника", "увлеченность", "достижения". По-видимому, между этими параметрами должна быть зависимость. Тем самым возникает поверхность в трехмерном пространстве с координатами (Т, У, Д).