В области точных наук Архимед сделал множество важных открытий, которые были зафиксированы в тринадцати дошедших до нас трактатах.
В работе «О шаре и цилиндре» ученый установил: площадь поверхности шара в четыре раза превышает площадь наибольшего его сечения. А если вокруг шара описать цилиндр, соотношение их объемов составит 2:3. Говорят, Архимед так гордился этим законом, что попросил изобразить на своем могильном памятнике шар, вписанный в цилиндр.
Кроме того, в трактате была сформулирована аксиома, суть которой заключается в отсутствии бесконечно малых или бесконечно больших величин: «Если меньший из двух отрезков отложить достаточное количество раз, то он полностью покроет больший». Этот закон, получивший название «принцип Архимеда», сыграл важную роль в расчетах площадей и объемов разных фигур. Впрочем, сам ученый признавался, что этот принцип использовали и его предшественники, в том числе Евдокс.
В труде «Измерение круга» Архимед предложил новый метод расчета числа «пи»: вписать правильный многоугольник в круг и вычислить отношение периметра многоугольника к радиусу круга. И указал две точные границы этого числа. В трактате «О коноидах и сфероидах» он определил объемы трехмерных фигур: эллипсоида, параболоида и гиперболоида, а также их сегментов. А в «Исчислении песчинок» представил способ записи сверхбольших чисел, что поразило всех современников Архимеда.
Также ученый понимал, что предметы не только имеют форму и измерение, но и движутся либо остаются неподвижными под воздействием внешних сил. Исходя из этого, он изучил сложение двух параллельных, одинаково направленных сил и определил центр тяжести для различных фигур. А в работе «О плавающих телах» вывел основной закон гидростатики: «На каждое тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной воды», — объяснив таким образом, почему одни тела в воде тонут, а другие — нет.
С открытием этого закона связана одна любопытная легенда. Однажды Гиерон попросил Архимеда проверить, из чистого ли золота изготовлена его корона или же ювелир подмешал в нее серебро. Но как это сделать? Корона весила не меньше, чем кусок золота, выданный на ее изготовление. Архимед размышлял несколько дней, а затем отправился в баню. Опускаясь в бадью, наполненную до краев, он обратил внимание, что вода выплеснулась на пол. Осененный внезапной догадкой, он, как был, выбежал на улицу с криками: «Эврика, эврика!» (в переводе с греческого — «нашел, нашел»). Так и был открыт основной закон гидростатики — закон Архимеда.
