Переходя от размерностей математических множеств к «эффективным» размерностям моделируемых этими множествами физических объектов, мы встречаемся с другой двусмысленностью, неизбежной и реально необходимой. И математические, и физические аспекты понятия размерности вкратце предваряются в данной главе.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕРМИНА «ФРАКТАЛЬНЫЙ»
В нижеследующем тексте используются не определенные ранее математические термины, однако многие читатели, возможно, сочтут этот отрывок полезным для себя или хотя бы просто занимательным. Остальные же вольны его пропустить.
Это и последующие отступления от основной линии настоящего эссе я буду помечать особыми скобками — < и >. Последний символ намеренно сделан более заметным, чтобы любой затерявшийся в отступлениях и желающий двигаться дальше читатель мог с легкостью его найти. Открывающая скобка не столь привлекает внимание: мне не хотелось, чтобы отступления слишком сильно выделялись в тексте. В отступлениях часто можно встретить предварительное упоминание материала, обсуждаемого в последующих главах.
< Размерностную несогласованность основных фракталов можно использовать для трансформации интуитивного понятия фрактала в строго математическое. Я решил сосредоточиться на двух определениях, каждое из которых ставит в соответствие всякому множеству в евклидовом пространстве — каким бы «патологическим» оно ни выглядело — некое вещественное число, которое и с интуитивной, и с формальной точки зрения имеет полное право называться размерностью этого множества. Более неформальным из двух является определение топологической размерности по Брауэру, Лебегу, Менгеру и Урысону. Эта размерность описана в соответствующем разделе главы 41. Обозначим ее через D>T Определение второй размерности было сформулировано Хаусдорфом в [203] и приведено в окончательный вид Безиковичем. Ее описание можно найти в главе 39, а обозначать ее мы будем через D.
< В евклидовом пространстве R>E величины размерностей D>T и D заключены в промежутке от 0 до E. Однако на этом их сходство заканчивается. Размерность D>T всегда является целым числом, в то время как для размерности D это вовсе не обязательно. Эти две размерности не обязательно должны совпадать, они должны лишь удовлетворять неравенству Спилрайна (см. [231], глава 4)
D≤D>T
В случае евклидовых множеств D=D>T. Однако почти для всех множеств в этой книге D>D>T. Такие множества необходимо было как-то называть, поэтому я придумал термин фрактал, определив его следующим образом:
