Используя умножение, люди стали получать числа, большие тех, которые получали простым счетом. Правда, это касалось не всех чисел, например, нет такого простого числа, которое можно было бы получить умножением двух меньших чисел. К этому вопросу мы вернемся позже. Однако, когда, например, Платон требует, чтобы в его идеальном городе жили 5040 граждан, ему не надо было пересчитывать их поодиночке. Достаточно было построить прямоугольник. В ряд надо поставить 60 граждан, а затем построить колонну из 84 таких рядов. Итого, умножив 60 на 84, получим 5040 человек.
Платон поступил бы не так умно, если бы построил всех граждан в две шеренги. Тогда ему пришлось бы считать до 2520. Таким образом, чем ближе прямоугольник по форме к квадрату, тем эффектнее замещает изящное умножение тупой счет.
Если точки, символизирующие какое-либо число, можно расположить в виде квадрата, то такое число называют квадратом какого-то другого числа. Первые квадраты выглядят так:
1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4, 3 × 3 = 9, 4 × 4 = 16, 5 × 5 = 25…
Последовательность квадратов 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, … растет быстро. Примечательно то, что последовательность разностей последующих и предыдущих квадратов, начиная с трех, состоит из последовательности нечетных чисел.
4 — 1 = 3, 9 — 4 = 5, 16 — 9 = 7, 25 — 16 = 9, 36 — 25 = 11…
Если умножить не два, а три числа, то получается связка связок, например, при умножении 3 × 4 × 5. 4 × 5 есть прямоугольное число, составленное из четырех написанных друг над другом строчек, каждая из которых состоит из пяти точек. Число же 3 × 4 × 5 соответствует трем таким прямоугольникам, уложенным друг на друга. Такая фигура соответствует прямоугольному параллелепипеду, состоящему из 60 точек. Древние счетоводы наверняка были поражены тем фактом, что такое сравнительно большое число, как 60, можно получить всего из трех цифр. Самое большое число, которое можно получить, перемножив три однозначных числа, — это 9 × 9 × 9 = 729. В сравнении с 9 это число просто чудовищно велико.
Вообще, когда речь идет о тройном произведении какого-то числа, то есть о результате его умножения на само себя, то говорят о кубе этого числа. Геометрический образ такого числа действительно куб. Первые числа из ряда кубов выглядят так:
1 × 1 × 1 = 1, 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 × 3 = 27,
4 × 4 × 4 = 64, 5 × 5 × 5 = 125…
Как мы видим, в последовательности кубов числа возрастают намного быстрее, чем в последовательности квадратов тех же чисел, а именно: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, …. Двухсотый куб, то есть 200 × 200 × 200, равен 8 миллионам. Это больше чем число 7 777 777, которого надеялся достичь Роман Опалка после десятилетий тяжкого труда.
